1.6. Геодезична лінія

Через цю точку поверхні можна провести незліченну безліч різних ліній. Напрямок кожній лінії в даній точці встановлюється направляючим кутом, складеним однією з координатних ліній і даною лінією. Дамо більш суворе визначення цьому поняттю.

На поверхні земного еліпсоїда в якості направляючого кута приймається кут між дотичними, проведеними до меридіану в північному напрямку і до даної лінії. Він відраховується від меридіана по напрямку руху годинникової стрілки. Цей кут називається геодезичним азимутом і позначається буквою А.

Геодезичний азимут можна також визначити, як двогранний кут між площиною меридіана і нормальної площиною, що проходить через дотичну до даної лінії. Один і той же азимут можуть мати і кілька різних ліній, якщо вони мають спільну дотичну в даній точці. Наприклад, паралель і перший вертикал в заданій точці мають однаковий азимут, рівний 90° (або 270°), хоча розташовані вони в різних площинах.

Вище було з'ясовано, що через подвійності взаємних нормальних перетинів геодезичні фігури, утворені цими перетинами, виявляються «розірваними» .У них з'являються нев’язки геометричного походження. Тому, незважаючи на достоїнства нормальних перетинів, які безпосередньо пов'язані з виміряними горизонтальними кутами, виникає необхідність з'єднувати точки еліпсоїда лінією, яка не має властивість подвійності. Такий кривої є геодезична лінія.

За визначенням геодезичної лінії її геодезична кривизна (кривина проекції кривої на дотичну площину) дорівнює нулю. Звідси також випливає, що головна нормаль геодезичної лінії збігається з нормаллю до поверхні в кожнійїї точці. Цікаво, що якщо в околиці довільної точки геодезичну лінію спроектувати на дотичну площину, то ця проекція в тій же диференціальній околиці буде прямою лінією. Ці геометричні факти будуть використані при виведенні рівнянь геодезичної лінії.

Диференціальні рівняння геодезичної лінії

З (рис.1.12) і формул (1. 61) і (1. 69) можна отримати

Отримані вирази справедливі для будь-якої довільної кривої. Для того щоб отримати рівняння геодезичної лінії, необхідно до рівності (1.76) і (1.77) приєднати ще одне, яке відображало б властивості, присуши тільки геодезичної лінії.

Розглянемо довільну криву на площині еліпсоїда. Якщо пересуватися уздовж цієї лінії, то в кожній її точці азимут буде змінюватися, по-перше, внаслідок зміни геодезичної кривизни, по-друге, через непаралельності меридіанів (явище зближення меридіанів). На рис. 1.13 зображений елементарний полярний сферичний прямокутний трикутник Q3Q2P. Застосовуючи до нього правило Непера - кут між меридіанами Q1P і Q2P), отримаємо

або, замінюючи тангенси малих кутів самими кутами,

Оскільки для геодезичної лінії геодезична кривизна усюди дорівнює нулю і, отже, змін азимута через неї не виникає, то вираз (1.78) і буде диференціальним рівнянням, властивим тільки геодезичної лінії. Приєднавши до нього виразу (1.76) і (1.77), отримаємо систему диференціальних рівнянь геодезичної лінії

Рис. 1.12. Диференціальні елементи кривої на поверхні еліпсоїда

Рис. 1.13. Зміна азимута геодезичної лінії

Висновок диференціального рівняння (1.78) заснований на найпростіших геометричних уявлень і, на перший погляд, може здатися не цілком коректним. Тому наведемо традиційний висновок цього рівняння з використанням строгих формул Серрі-Френе.

Попередньо встановимо деякі співвідношення для координатних ліній на поверхні еліпсоїда. Крім того, нагадаємо, що по одному з визначень для геодезичної лінії, її головна нормаль в кожній точці збігається з нормаллю до поверхні .

Запишемо рівняння Серрі-Френе (1.1) для меридіана і паралелі. Кривизна меридіана дорівнює , паралелі . Обидві криві плоскі, тому їх кручення дорівнює нулю.