Середній радіус кривизни

Радіус кривизни будь-якого нормального перетину R; виражається

через головні радіуси кривизни за формулою Ейлера:

або

де А; - геодезичний азимут даного нормального перетину.

Середній радіус кривизни R не відноситься ні до однієї лінії на еліпсоїді. Він характеризує форму поверхні в даній точці і визначається як межа середнього арифметичного з радіусів кривизни можливих нормальних перерізів, проведених через дану точку поверхні в різних напрямках, тобто

Уявімо А як суму елементарних перетворень азимута , відповідно до цього для повного циклу змін азимута будемо мати Тоді (1.54) з урахуванням (1.53) прийме вигляд

Замінюючи межа суми визначеним інтегралом, отримаємо

Останній інтеграл запишемо так:

Введемо заміну змінних

Тепер (1.57) прийме вигляд

Звідси

Таким чином, середній радіус кривизни обчислюється як середнє геометричне з головних радіусів кривизни. цей результат був вперше отриманий Гауссом, тому в його честь величина.

називається кривизною поверхні Гауса.

1.4. Довжини дуг координатних ліній

Довжина елементарної дуги dS довільною плоскою кривою обчислюється

за відомою формулою

д е - радіус кривизни кривої в початковій точці; - кут між нормалями в початковій і кінцевій точках дуги (кут суміжності). Застосуємо цю формулу для обчислення довжин дуг меридіана і паралелі.

Довжина дуги меридіана

Відповідно до формули (1.60) і рис.1.7 для диференціала довжини дуги меридіана матимемо

Рис.1.7. Диференціал довжини дуги меридіана

Для обчислення довжини дуги меридіана кінцевих розмірів, наприклад, в межах широт від О до В з урахуванням формули (1. 48) необхідно знайти інтеграл

Отриманий інтеграл відноситься до класу еліптичних інтегралів і в елементарних функціях не виражається. Існує кілька способів наближеного обчислення інтеграла виду (1.62). Якщо точки меридіана з широтами В1 і В2 розташовані досить близько один до одного, наприклад, як це буває при обчисленні довжин східної і західної сторін сферичної трапеції, зображуваної на площині у вигляді рамки листа карти того чи іншого масштабу (до 1: 1 000 000), то (1. 62) прийме вигляд

Даний інтеграл можна обчислити за формулою Сімпсона

д е обчислюють за формулами (1.48) відповідно для широт

Інший спосіб полягає в розкладанні підінтегральної функції (1.62) в ряд і наступному по членному його інтегруванні, тобто

Де

Наведемо чисельні значення коефіцієнтів ряду (1.64) для еліпсоїдів Красовського (ліва колонка) і WGS-84 (права колонка):

З коефіцієнтами, обчисленими за елементами еліпсоїда Красовського, цей ряд (1.64) можна привести до виду більш зручному для обчислень.

Точність обчислень за цією формулою становить 0,0001 м.

Довжина дуги паралелі

Паралель є коло радіуса, r = N cosB. позначимо довжину дуги паралелі між точками з довготами L1 і L2 через тоді, застосовуючи (1.60), одержимо