Рівняння поверхні еліпсоїда

Введемо прямокутну систему координат з початком в центрі еліпсоїда (рис.1. 4.)

Рис. 1. 4. Прямокутні координати точок поверхні еліпсоїда

Вісь х лежить на перетині площин початкового меридіана і екватора, вісь z спрямована по малій півосі на північ, вісь у- доповнює систему до правої. З рис.1.4 для точки Q можна записати

Якщо тепер радіус паралелі замінити його виразом за рівністю (1.24) і врахувати (1.25), то отримаємо

Вирази ( 1.42 ) являють собою параметричні рівняння поверхні еліпсоїда . Ви- словимо їх через геодезичні координати . Введемо позначення (геометричний зміст величини буде пояснений нижче) , тоді , використовуючи раніше отрима-ні формули ( 1.12) ,(1 20 ), (1.35), (1.36 )

н айдемо

1.3 . Головні радіуси кривизни. Середній радіус кривизни

Проведемо через деяку точку Q на поверхні еліпсоїда безліч нормальних перетинів. Кожне з них матиме свою кривизну. З усього пучка нормальних перерізів виділимо два з найбільшою і найменшою кривизною . Ці два перетину називаються головними нормальними перетинами , а їх радіуси кривини - головними радіусами кривизни.

Рис.1.5 . Головні нормальні перетини і паралель

Головні нормальні перетини завжди взаємно ортогональні. На еліпсоїді головними нормальними перетинами є -- меридіан ( на рис. 1.5 показаний відрізок меридіана РР ) і перший вертикал (відрізок ТТ ) . Зазначимо, що перший вертикал і паралель (відрізок tt ) в точці Q мають спільну дотичну , оскільки обидві лінії перпендикулярні до меридіану . Радіус кривизни

меридіана позначається символом М , радіус кривизни першого вертикала - N. Головні радіуси кривизни часто зустрічаються при вирішенні багатьох завдань сфероїдальній геодезії. Знайдемо формули для їх обчислення.

Меридіан є еліпс з параметричними рівняннями (див. формули ( 1.24 ) і ( 1.25 ))

Відомо, що для кривих, рівняння яких задані в параметричній формі, радіус кривизни обчислюється за формулою

Для похідних, що входять в (1.45), згідно (1.44) знайдемо

Підставами (1.46) в (1.45) і врахуємо (1.12), тоді

Оскільки

то отримаємо остаточно

Зауважимо, що на полюсі (В = 90 °) М = с, на екваторі (В = 0 °) М = р, таким чином, лінійні величини с і р, введені в (1.2), є граничними значеннями радіуса кривизни меридіана.

Для радіуса паралелі згідно (1.24) і (1.36) будемо мати

Радіус першого вертикалі знайдемо по теоремі Мєньє, яка стверджує: якщо похилий і нормальний перетин мають спільну дотичну, то радіус кривизни похилого перерізу дорівнює радіусу нормального перетину, помноженому на косинус кута між площинами цих перерізів. Паралель і перший вертикал задовольняють умовам теореми, кут між площинами цих перерізів дорівнює геодезичній широті В (рис .1. 6), тому

Звідси, з урахуванням (1.49), одержимо

Таким чином, величина N, введена при виведенні формул зв'язку прямокутних і геодезичних координат (1.43), є радіус кривизни першого вертикалі.

Рис.1.6. Радіус кривизни першого вертикала

Складемо відношення головних радіусів кривизни відповідно з (1.48) і (1.50)

Очевидно, що N> М у всіх точках поверхні еліпсоїда, крім полюсів.