ЗЕМНИЙ ЕЛІПСОЇД І КРИВІ НА ЙОГО ПОВЕРХНІ

1.1. Основні визначення для кривих на поверхні еліпсоїда

Криві, розташовані на поверхні еліпсоїда, будуть мати властивості, тісно пов'язані з властивостями цієї поверхні. Нагадаємо деякі геометричні поняття і співвідношення для кривих на поверхні.

Якщо через деяку точку поверхні провести всілякі криві, то дотичні до них утворюють дотичну площину. Пряма, перпендикулярна до дотичної площини і проходить через точку дотику, називається нормаллю до поверхні. Дотична площину і нормаль до поверхні будуть спільними для всіх кривих, розташованих на поверхні і тих що проходять через точку дотику.

Через нормаль до поверхні можна провести безліч площин в різних напрямках. Вони називаються нормальними площинами.

Рис.1.1. Супроводжуючий тригранник

В сі криві на поверхні діляться на два види: плоскі криві (мають тільки кривизну) і криві подвійної кривизни (мають кривизну і кручення). Поведінка просторових кривих характеризується так званим тригранник (рис.1.1), ребрами якого є взаємно ортогональні одиничні вектори - дотичній ,головної нормалі і бінормалі . При поступальному русі вздовж кривої S вектори будуть змінювати своє положення в просторі відповідно до формул Серрі-Френе (1.1)

Де - кривизна кривої; - її кручення. Кривизна проекції кривої на нормальну площину називається нормальною кривизною , а кривизна проекції кривої на дотичну площину називається геодезичною кривизною .

Якщо ввести систему прямокутних координат з початком у вершині

С упроводжуючого тригранника (див. рис .1.1), вісь х направити по дотичній , ось у - по головній нормалі , вісь - по бінормалі , то вираз для радіуса-вектора поточної точки можна записати у вигляді :

(1.2)

або в параметричній формі у функції довжини кривої

де похідні визначаються з урахуванням формули Серрі-Френе

Проектуючи векторні вирази (1.3) на осі координат, отримаємо

Використовуючи (1.5), легко отримати вирази для хорди кривої

і кута між дотичною і хордою

При вивченні кривих на поверхні еліпсоїда найбільшу увагу буде приділено нормальному перерізу І геодезичної лінії. Наступ перетину нормальної площини з поверхнею еліпсоїда називається нормальним перетином.

Геодезична лінія з'єднує дві точки поверхні по найкоротшому віддалі.

У кожній її точці геодезична кривизна дорівнює нулю і, отже, головна нормаль збігається з нормаллю до поверхні.

1.2. Елементи земного еліпсоїда і криволінійні координати на його поверхні

Еліпсоїд обертання цілком визначається розмірами його великої і малої півосей (а і Ь). Крім них можуть використовуватися допоміжні лінійні величини

Форму еліпсоїда прийнято характеризувати відносними елементами:

1. Стисненням

2. Ексцентриситетом

3. Другим ексцентриситетом і

4. Величинами без назв.

За допомогою формул (1.7) - (1.10) легко встановити зв'язок між елементами еліпсоїда

У сфероїдальній геодезії досить часто використовується розкладання функцій в ряди по степеню ексцентриситету . Наведемо порядок цих величин, що буде корисно при оцінці необхідного числа членів відповідних рядів:

Запис багатьох формул сфероїдальній геодезії істотно спроститься, якщо ввести позначення:

Встановити зв’язок між W та V

Звідси

Використовуючи (1.12), (1.13), (1.20), легко отримати співвідношення

КРИВОЛІНІЙНІ КООРДИНАТИ НА ПОВЕРХНІ ЕЛІПСОЇДА

Криволінійними координатами точки на поверхні еліпсоїда називаються числові характеристики двох координатних ліній, в перетині яких знаходиться дана точка. Побудова системи криволінійних координат полягає у виборі двох сімейств ліній на поверхні еліпсоїда і встановлення способу їх нумерації.

У геодезії використовується система геодезичних координат В і L (сімейства паралелей і меридіанів), де В- геодезична широта, L- геодезична довгота, а також система і, L з приведеною широтою U. Крім них іноді використовується система Ф, L з геоцентричною широтою Ф, яка визначається як гострий кут між радіусом-вектором точки і площиною екватора.

Система геодезичних координат є основною системою криволінійних координат на поверхні земного еліпсоїда. Її практичне значення полягає в тому, що геодезичні координати В і L незначно (на величину ухилення прямовисній лінії) відрізняються від астрономічних координат, одержуваних з астрономіч-них спостережень. Приведена і геоцентрична широти мають допоміжне значе-ння, з їх допомогою спрощується опис деяких теоретичних питань

(рис. 1.2. і рис. 1.3.).

Рис.1.2. Геоцентрична, наведена, геодезична широти

Рис. 1.3. Зв'язок між геодезичною і наведеної широтою

Встановимо зв'язок між геодезичною широтою і широтами U і Ф. На рис.1.2 зображено ділянку меридіанного еліпса з рівнянням

Відрізком Qn , рівним великої півосі a, навіщо на осі обертання еліпсоїда точку n. Гострий кут, утворений прямою Qn з площиною екватора, є наведе-ною широта. За рис.1.2 отримаємо (r- радіус паралелі)

Підставляючи (1.24) в (1.23), знайдемо

Вирази (1.24) і (1.25) є параметричними рівняннями еліпса. З puc.1.3 запишемо:

Диференціали dr і dz знайдемо з виразів (1.24) і (1.25)

Звідси (1.26) запишемо

Це основна формула, що встановлює залежність між геодезичної і наведеної широтами, із якої з урахуванням (1.12) можна знайти інші корисні вирази:

Далі запишемо (1.28) в вигляді

де k- невідомий множник, який будемо шукати під умовою

Зводячи (1.33) в квадрат і складаючи, отримаємо з урахуванням (1.21)

Підставляючи (1.34) в (1.33), знайдемо

Використовуючи ці співвідношення і формулу (1.20), легко висловити W і V через приведеною широту

Звідси отримаємо

Нарешті, диференціюючи (1.28) і залучаючи (1.2 1) і (1.36), знайдемо

Для того щоб оцінити різницю між геодезичної та проведеної широтами, скористаємося формулою (l.31), з якої випливає

д е величина x визначається формулою (1.11). Звідси, враховуючи мале

відмінність між В і U, отримуємо наближену оцінку

М аксимальне значення різниці В - U на широті 45 ° становитиме:

Зв'язок геометричної широти Ф з геодезичної В установимо з допомогою рис.1.2 і формул (1.24), (1.25) і (1.28)

або