17. Приближенная теория смесеобразования

Распределение концентрации одного продукта в другом описывается линейным уравнением второго порядка в частных производных

, (1.1)

где К_Б - концентрация вытесняющей жидкости Б;

D_Э - эффективный коэффициент продольного перемешивания.

Это уравнение часто называют уравнением теплопроводности.

Его решение при начальных условиях

имеет вид : , (1.2)

где Ф(Z) - интеграл вероятности, ;

Z - аргумент интеграла вероятности, равный ;

 - время образования смеси (время перекачки).

График функции приведен на рис. 1.6.

В соответствии с ним концентрация К_Б = 1 имеет место при Z  - , а К_Б = 0 при Z  + , то есть смесь занимает как бы весь трубопровод. Это дефект используемой математической модели.

Для инженерных целей под областью смеси понимают зону, где концентрация продукта Б в продукте А изменяется от 99 до 1 %. Значение аргумента интеграла вероятности Z при К_Б = 0,01 равно 1,645, а при К_Б = 0,99 равно - 1,645.

Рис. 1.6. График функции К_Б=0,5[1-Ф(z)]

Пусть х₁ и х₂ - координаты сечений, ограничивающих область смеси. Тогда можем записать :

.

Длину области смеси найдем как разность х₂ и х₁

. (1.3)

Если учесть, что время образования смеси , то можем переписать ф-лу (1.3): , (1.4)

где L - пройденный смесью путь; _см - скорость смеси.

Соответственно объем смеси будет равен , (1.5)

где F - площадь сечения трубопровода.

Из полученных формул видно, что длина и объем смеси меняются пропорционально корню квадратному из пройденного смесью расстояния и зависят также от площади сечения трубопровода и коэффициента продольного перемешивания (диффузии) D_э.

Длину и объем смеси, часто выражают, через безразмерное число Пекле , что дает . (1.6)

Объем примеси одного продукта в другом описывается формулой

.

Если взять отношение объема примеси к объему смеси, то получим

,

то есть объем примеси составляет около 1/12 объема смеси, определенной в пределах концентрации от 1 до 99 %. В рассмотренном примере этот объем равен 19 м³ в каждом из продуктов.

В примере мы задавались величиной эффективного коэффициента диффузии. На самом деле для его расчета имеется ряд эмпирических формул:

- формула Асатуряна ; (1.8)

- формула Нечваля - Яблонского ; (1.9)

- формула Съенитцера . (1.10)

Кинематическую вязкость в данных формулах определяют следующим образом. При _А/_Б  5 пользуются формулой Кадмера

.

Если же , то . (1.11)

Выразим величину числа Пекле с использованием формулы Съенитцера

.

Подставив его в формулу для нахождения объема смеси, получим

. для нефтепродуктов, обладающих одинаковой вязкостью

Из этой формулы, в частности, видно, что чем меньше значение коэффициента гидравлического сопротивления , тем меньше объем образующейся смеси. Поскольку для всякой жидкости коэффициент  уменьшается при увеличении средней скорости потока _ср, то мы приходим к важному выводу: чем больше скорость перекачки, тем меньше образуется смеси., то, используя формулы (1.10), (1.11), получаем

. Если вязкость нефтепродуктов различны