У трикутнику одна зі сторін дорівнює 11, а друга ділиться точкою дотику вписаного в нього кола на відрізки 6 і 7. Знайдіть периметр трикутника.

Висота BD  рівнобедреного трикутника ABC дорівнює 12 см, AB = BC = 13 см. Пряма, паралельна AC, перетинає бічні сторони в точках P і Q та розбиває трикутник ABC на дві рівновеликі частини. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник PBQ .

На сторонах AB, BC, AC трикутника ABC взято відповідно точки C′, A′, B′ так, що AC′ : C′B = BA′ : A′C = CB′ : B′A = 1 : 2. Площа трикутника A′B′C′ дорівнює 2. Знайдіть площу трикутника ABC.

У рівнобедреному трикутнику ABC: AB = BC = 3 см, AC = 2 см. Знайдіть бісектрису AD цього трикутника.

Бісектриса прямого кута трикутника ділить гіпотенузу на відрізки 15  і 20. Знайдіть периметр трикутника.

У рівнобедреному трикутнику ABC (AB = BC) вершина B віддалена від точки перетину бісектрис на 13. Знайдіть периметр трикутника, якщо площа вписаного в нього круга дорівнює 25π.

У трикутнику ABC точка O є точкою перетину медіан AP і BQ. Знайдіть площу трикутника OPQ , якщо площа трикутника ABC дорівнює S.

Сторони трикутника дорівнюють 17, 25 і 26. Знайдіть площі частин трикутника, на які його ділить найбільша висота.

Знайдіть найменшу сторону трикутника, якщо дві його медіани перпендикулярні і мають довжини 3 м і 4 м.

Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10, а один із катетів — 6. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини більшого гострого кута.

У рівнобедреному трикутнику ABC: AC = 6, AB =BC = 5; AA′, BB′, CC′ — висоти. Знайдіть площу трикутника A′B′C′.

Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 100 дм, а одна зі сторін ділиться точкою дотику, вписаного в нього кола на відрізки 15 дм і 21 дм.

Сторони трикутника ABC продовжено так, що AB = BA′, BC = CB′, CA = AC′. Знайдіть площу трикутника ABC, якщо площа трикутника A′B′C′ дорівнює S.

У трикутнику ABC: AB = BC= 3, AC = 5. Знайдіть бісектрису кута при основі.

Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 4 і 5. Знайдіть периметр трикутника.

У рівнобедреному тупокутному трикутнику точка перетину серединних перпендикулярів віддалена від основи на 7. Знайдіть периметр трикутника, якщо довжина описаного навколо нього кола дорівнює 50π.

У трикутнику ABC точки P і Q ділять сторону AC на три рівні частини, O –точка перетину медіан трикутника ABC. Знайдіть площу трикутника OPQ, якщо площа трикутника ABC дорівнює S.

Сторони трикутника дорівнюють 17, 25 і 26. Знайдіть площі частин трикутника, на які ділить його висота, проведена до найменшої зі сторін.

Дві медіани трикутника перпендикулярні й дорівнюють 8 і 15. Знайдіть суму медіан трикутника.

Катети прямокутного трикутника дорівнюють 4,5 см і 6 см. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини меншого гострого кута.

У трапеції ABCD кути при основі AD дорівнюють 35º і 55º, AD = 10, BC = 6. Знайдіть довжину відрізка, який сполучає середини основ трапеції.

На діагоналі BD ромба ABCD як на діаметрі побудовано коло, яке перетинає продовження сторони AB в точці P. Знайдіть меншу діагональ ромба, якщо AP = 1, BP = 3.

Знайдіть меншу з діагоналей трапеції, основи якої дорівнюють 7,5 і 18, а бічні сторони — 6,5 і 10.

Знайдіть суму всіх діагоналей правильного шестикутника зі стороною a.

Бісектриса кута прямокутника ділить його площу у відношенні 3 : 1. Знайдіть відношення суміжних сторін прямокутника.

Дві висоти паралелограма, проведені з вершини гострого кута, дорівнюють 2 і 3. Кут між цими висотами дорівнює 150º. Знайдіть суму квадратів діагоналей паралелограма.

При перетині менших діагоналей правильного шестикутника утворюється правильний шестикутник зі стороною a. Знайдіть площу даного шестикутника.

Перпендикуляр, проведений із точки перетину діагоналей ромба до його сторони, ділить її на відрізки, що дорівнюють 3 і 12. Знайдіть площу ромба.

Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 9 см і 5 см, а діагональ — 9 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції.

Точки K, L, M і N — середини сторін опуклого чотирикутника ABCD, площа якого дорівнює 6. Знайдіть площу чотирикутника KLMN.

У трапеції ABCD кути при основі AD дорівнюють 80º і 10º. Точки K, L, M і N — середини сторін AB, BC, CD і DA відповідно. Знайдіть основу BC трапеції, якщо KM = 16, LN = 9.

На діагоналі BD ромба ABCD як на діаметрі побудовано коло, яке перетинає сторону AB в точці P. Знайдіть більшу діагональ ромба, якщо AP = 4 м, PB = 8 м.

Знайдіть більшу з бічних сторін трапеції, основи якої дорівнюють 2 і 3, а діагоналі — 2 і 4.

Знайдіть сторону правильного шестикутника, якщо сума всіх його діагоналей дорівнює 24.

Бісектриса кута прямокутника ділить його площу у відношенні 3 : 2. Знайдіть відношення, у якому бісектриса ділить діагональ прямокутника.

Коло, вписане в прямокутну трапецію, ділить точкою дотику одну з бічних сторін на відрізки 24 м і 6 м. Знайдіть довжину середньої лінії трапеції.

Дві висоти паралелограма, проведені з вершини його тупого кута, дорівнюють 2 і 3. Кут між цими висотами дорівнює 30º. Знайдіть периметр паралелограма.

При перетині менших діагоналей правильного шестикутника, площа якого дорівнює s, утворюється шестикутник. Знайдіть площу цього шестикутника.

Перпендикуляр, проведений із точки перетину діагоналей ромба до його сторони, ділить її у відношенні 1 : 2. Знайдіть сторону ромба, якщо його площа дорівнює .

Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 8 і 5, а висота — 2. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції.

Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює  дм, а її висота — 3 дм. Знайдіть двогранний кут при основі піраміди.

Основою прямої призми є прямокутник, вписаний у коло радіуса 6 см. Менша сторона прямокутника стягує дугу кола, яка дорівнює 60°. Знайдіть об’єм призми, якщо площа її бічної поверхні дорівнює сумі площ основ.

Бічні ребра правильної трикутної зрізаної піраміди нахилені до площини основи під кутом 45°. Сторони основ дорівнюють 6 см і 3 см. Знайдіть об’єм зрізаної піраміди.

Основою прямого паралелепіпеда є ромб. Площина, проведена через одну зі сторін нижньої основи і протилежну їй сторону верхньої основи, утворює з площиною основи кут 45. Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда, якщо одержаний переріз має площу 20 см².

Найбільша діагональ правильної шестикутної призми має довжину 15 см і утворює з бічним ребром призми кут 30°. Знайдіть об’єм призми.

Основами правильної зрізаної піраміди є квадрати зі сторонами 4 дм і 1 дм. Її бічні ребра утворюють із площиною основи кут 60°. Знайдіть тангенс двогранного кута при основі.

Площина, яка проходить через діагональ грані куба зі стороною а і середини суміжних ребер протилежної грані, розбиває куб на дві частини. Знайдіть об’єм більшої з них.

Площа основи правильної десятикутної піраміди дорівнює 40 см², а висота утворює із бічною гранню кут 45°. Знайдіть бічну поверхню піраміди.

Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 9 см і утворює з двома суміжними бічними гранями кути по 30°. Знайдіть об’єм паралелепіпеда.

Правильну трикутну піраміду зі стороною основи 3 дм і двогранним кутом при основі 60° перетнуто площиною, яка перпендикулярна до основи і проходить через її середню лінію. Знайдіть об’єм відрізаної піраміди.

Сторони основ правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнюють 3 см і см. Її бічна грань утворює з площиною основи кут 30°. Знайдіть повну поверхню зрізаної піраміди.

Основою піраміди є правильний шестикутник. Із двох її ребер деякої бічної грані, одне ребро перпендикулярне до площини основи, а друге — нахилене до неї під кутом 60° і має довжину 30 см. Знайдіть довжину найбільшого із бічних ребер.

Діагональ прямокутного паралелепіпеда утворює з бічною гранню кут . Площина, проведена через цю діагональ і бічне ребро, утворює з цією самою гранню кут  . Знайдіть усі можливі значення кута , якщо  +   = 90°.

Правильну чотирикутну піраміду перетнули площиною, яка проходить через середини двох суміжних сторін основи перпендикулярно до неї. Знайдіть об’єм відрізаної трикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює 7 см, а двогранний кут при основі — 45°.

Основою паралелепіпеда є прямокутник зі сторонами 3 дм і 4 дм. Бічне ребро довжиною 5 дм, утворює зі сторонами, що мають із цим ребром спільну вершину, кути по 60°. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Основами правильної зрізаної піраміди є квадрати зі сторонами 4 дм і 1 дм. Її бічні ребра утворюють із площиною основи кут 45°. Знайдіть об’єм зрізаної піраміди.

Діагональ бічної грані правильної шестикутної призми дорівнює  м. При якій довжині висоти призми її об’єм буде найбільшим?

Основою прямої чотирикутної призми є ромб, площа якого дорівнює 8 дм², а площі її діагональних перерізів — 28 дм² і 7 дм². Знайдіть об’єм призми.

У правильній чотирикутній зрізаній піраміді сторони основ — 3 см і 5 см, а площа бічної поверхні дорівнює половині площі повної поверхні. Знайдіть об’єм піраміди.

Знайдіть бічну поверхню правильної чотирикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює см, а діагональний переріз і основа рівновеликі.

Трапеція АВСD обертається навколо бічної сторони CD. Знайдіть об’єм утвореного тіла обертання, якщо AD = 8 см, ВС = 4 см, CD = 6 см і CDA = 60.

висота конуса утворює з його твірною кут 60°. Хорда основи конуса довжиною 5 дм стягує дугу 60°. Знайдіть об’єм конуса.

твірна зрізаного конуса довжиною 16 см утворює з площиною нижньої основи кут 60°. Діагональ його осьового перерізу перпендикулярна до бічної сторони перерізу. Знайдіть бічну поверхню зрізаного конуса.

У сферу радіуса 5 см вписано зрізаний конус. Його основи відтинають два сферичні сегменти, осьові перерізи яких визначають дуги 120° і 60°. Визначте об’єм зрізаного конуса.

Прямокутник, діагональ якого утворює з меншою стороною кут 60°, згорнули в циліндричну трубку, спочатку обравши твірною меншу сторону, а потім — більшу. Вважаючи довжини кіл основ рівними відповідним сторонам прямокутника, знайдіть відношення об’ємів одержаних циліндрів.

Знайдіть об’єм конуса, якщо його бічна поверхня дорівнює 16 π см², а повна — 25 π см².

Об’єм конуса дорівнює 18 π дм³. Площини, паралельні основі, ділять висоту на три рівні частини. Знайдіть об’єм середньої частини конуса, утвореної при цьому.

сфера з центром у вершині даного конуса і радіусом, довжина якого дорівнює висоті конуса, ділить його бічну поверхню навпіл. Знайдіть кут між висотою і твірною конуса.

В основу конуса вписано квадрат зі стороною 4 см. Через вершину конуса і сторону квадрата проведено площину, яка в перетині з конусом утворює трикутник із кутом при вершині 90°. Знайдіть повну поверхню конуса.

У конус, радіус основи якого дорівнює 5 дм, вписано сферу. Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом 30°. Знайдіть площу поверхні сфери.

Збільшення довжини радіуса кулі на 2 см призвело до збільшення об’єму її кульового сектора на 16 π см3. Знайдіть початковий радіус кулі, якщо кут осьового перерізу сектора дорівнює 120°.

Дано конус із висотою 8 дм та кутом 60° між висотою і твірною. Сфера з центром у вершині конуса розбиває конус на дві рівновеликі частини. Знайдіть радіус сфери.

Бічні грані правильної чотирикутної піраміди нахилені до площини основи під кутом 60°. Апофема піраміди дорівнює 5 см. Знайдіть повну поверхню конуса, вписаного в піраміду.

У правильну трикутну піраміду вписано сферу. Сторона основи піраміди дорівнює 15 см, а плоский кут при її вершині — 90°. Знайдіть площу сфери.

У кулю, об’єм якої 36π см³, вписано циліндр. Знайдіть об’єм циліндра, якщо радіус кулі вдвічі більший, ніж радіус основи циліндра.

У конус вписано циліндр, висота якого дорівнює радіусу основи конуса. Площа повної поверхні циліндра відноситься до площі основи конуса як 3 : 2. Знайдіть тангенс кута між висотою конуса і його твірною.

Труба діаметром 100 мм за допомогою конусоподібного з’єднання переходить у трубу, площа поперечного перерізу якої удвічі більшa, ніж площа поперечного перерізу першої труби. Твірні конічного з’єднання утворюють кут 60° з поперечним перерізом. Знайдіть довжину з’єднання.

Паралельно осі циліндра на відстані 7 см від неї проведено площину, яка перетинає основу по хорді, що стягує дугу 30°. Площа перерізу дорівнює 63 см². Знайдіть об’єм циліндра.

Два конуси з радіусами основ 18 см і спільною висотою 4 см симетричні відносно середини висоти. Знайдіть об’єм спільної частини цих конусів.

На одній і тій самій основі побудовано циліндр, а всередині нього — конус. Кут між висотою і твірною конуса дорівнює 45°. Точка О — центр основи циліндра, яка не є основою конуса, АВ — твірна циліндра. Знайдіть об’єм частини циліндра, обмеженої бічною поверхнею конуса та основою й бічною поверхнею циліндра, якщо ОАВ = 30°, АО =  .