6. Емпірична функція розподілу

7. Вибірковий момент

Вибіркові моменти в математичній статистиці — це оцінка теоретичних моментів розподілу на основі вибірки.

Визначення

Нехай — вибірка з розподілу ймовірності. Тоді

• Вибірковий момент порядку — це випадкова величина :

• Центральний вибірковий момент порядку — це випадкова величина : , де символ позначає вибіркове середнє.

Застосування

Вибіркові моменти використовують для оцінки характеристик апріорного розподілу чи перевірки стохастичних гіпотез. Оцінювання параметрів може може бути зроблено методом моментів.

9. Статистика, оцінка, незміщені і спроможні оцінки.

Нехай а^* - статистична оцінка невідомого параметру а теоретичного розподілу (генеральної сукупності). Припустимо, що по вибірці об’єму n знайдена оцінка .

Повторимо експеримент, тобто візьмемо знову вибірку об’єму n з генеральної сукупності і по ній знайдемо оцінку і т.д. Таким чином оцінку а^* можна розглядати як випадкову величину, що має закон розподілу, який залежить, по-перше, від закону розподілу випадкової величини Х, по-друге, від числа експериментів n, а числа - як її можливі значення.

Припустимо, що оцінка а^* дає наближене значення а з надлишком; тоді кожне знайдене за даними вибірок число більше істинного значення а. Зрозуміло, що в цьому випадку і математичне сподівання (середнє значення) випадкової величини а^* більше, ніж а, тобто M[a^*]>a. Теж саме, очевидно, якщо а^* дає оцінку з недостачею, то M[a^*]<a.

Таким чином, використання статистичної оцінки, математичне сподівання якої не рівне оцінюючому параметру, привело б до систематичних (одного знаку) похибок. Тому потрібно вимагати, щоб математичне сподівання оцінки було рівне шуканому параметру. Хоча дотримання цієї вимоги не усуне похибку, проте похибки різних знаків будуть взаємно компенсуватись. Тобто дотримання умови M[a^*]=a гарантує відсутність систематичних похибок.

Незміщеною називають статистичну оцінку а^*, математичне сподівання якої дорівнює параметру, що оцінюється при будь-якому об’ємі вибірки, тобто

M[a^*]=a. (1)

Зміщеною будемо називати статистичну оцінку, для якої порушується умова (1), тобто .

10. Статистичні оцінки для математичного сподівання, дисперсії моментів досліджуваної випадкової величини.

Дисперсії розраховуються за формулами :

.

Перетворимо вирази до вигляду:

, (1)

, (2)

де .

Перший доданок рівності (1) збігається за ймовірністю до , а другий до , тобто вся права частина до правої частини рівності (2), значить, статистична дисперсія D_r є змістовною оцінкою дисперсії D_В.

Якщо ж в ролі оцінки генеральної дисперсії взяти вибіркову дисперсію, то ця оцінка буде приводити до системних похибок (одного знаку, бо ), даючи занижене значення генеральної дисперсії. Отже, вибіркова дисперсія є зміщеною оцінкою генеральної дисперсії, тобто математичне сподівання вибіркової дисперсії не рівне генеральній дисперсії, а рівне:

. (3)

11. Ефективні оцінки. Лема.

Оцінка параметра називається ефективною оцінкою в класі , якщо для будь-якої іншої оцінки виконується нерівність для будь-якого .

Особливу роль в математичній статистиці відіграють незміщені оцінки. Якщо незміщена оцінка є ефективною оцінкою в класі незміщених, то таку статистику прийнято називати просто ефективною.

Єдиність

Ефективна оцінка в класі , де — деяка функція, існує і єдина з точністю до значень на множині , ймовірність потрапити в яку дорівнює нулю ( ).