Колоквіум

1. Характеристична функція. Властивості.

Під характеристи́чною фу́нкцією випадкової величини розуміють математичне сподівання випадкової величини :

,

де  — дійсний параметр.

Якщо  — функція розподілу , то

У випадку дискретного розподілу

Для будь-якої характеристичної функції

,

Якщо з константами і , то (  — характеристична функція ).

Якщо є раз диференційовною по , то при

2. Перетворення Лапласа, твірна функція, властивості Перетворення Лапла́са — інтегральне перетворення, що зв'язує функцію комплексної змінної (зображення) з функцією дійсної змінної (оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.

Пряме перетворення Лапласа

Перетворенням Лапласа функції дійсної змінної , називається функція комплексної змінної , така що:

Права частина цього виразу називається інтегралом Лапласа.

Твірна функція моментів (англ. Moment-generating function, рос. Производящая функция моментов) — В теорії ймовірностей і статистиці це функція від випадкової величини , що визначається за наступною формулою:^[1]

коли це математичне сподівання існує.

3. Центральна гранична теорема — теорема теорії ймовірностей про збіжність розподілу суми незалежних однаково розподілених випадкових величин до нормального розподілу. Ця теорема підкреслює особливість нормального розподілу в теорії ймовірностей. Формулювання Лінденберга

Формулювання Ліндеберга

Нехай  — послідовність взаємно незалежних випадкових величин з однаковими розподілами. Припустімо, що та існують. Нехай . Тоді для довільних фіксованих , ( ):

Де  — нормальна функція розподілу.^[1][2]

Використовуючи ті позначення що й у попередньому параграфі, замінюючи умову Ляпунова на слабшу (запропоновану фінським математиком Ліндебергом у 1920 році) можна отримати нове формулювання центральної граничної теореми.

Якщо для кожного виконується

де — характеристична функція. Тоді розподіл стандартизованої суми Z_n прямує до стандартного нормального розподілу N(0,1).

5. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

Теорiя ймовiрностей займається вивченням математичних моделей випадкових явищ.

Якщо ми маємо адекватну математичну модель деякого випадкового явища, то мо-

жемо розраховувати ймовiрностi тих чи iнших подiй i за цими ймовiрностями можемо

передбачати частоти цих подiй. Якщо ймовiрнiсна модель вибрана правильно, то та-

кi передбачення будуть виконувати лише з випадковими похибками, якi теж можемо

розрахувати в рамках вибраної моделi.Математична статистика видiляється з теорiї ймовiрностей в самостiйну область,хоча основнi методи залишаються тими ж . Причиною цього є специфiчнiсть задачматематичної статистики, якi є певним чином оберненими до задач теорiї ймовiрно-

стей. Якщо в теорiї ймовiрностей ми вважаємо, що модель задана явища i проводимо

розрахунки можливих реальних змiн цього явища, то в математичнiй статистицi ми

виходимо з вiдомих реалiзацiй деяких випадкових подiй, з так званих статистичних

даних. Математична статистика розробляє рiзноманiтнi методи, якi дозволяють за

цими статистичними даними пiдiбрати потрiбну ймовiрнiсну модель.

Основнi задачi, якi розв’язує математична статистика:

1. Перевiрка статистичних гiпотез.

2. Статистичне оцiнювання невiдомих параметрiв.

3. Побудова довiрчих iнтервалiв.

Вибiрковий метод

Нехай для вивчення кiлькiсної (дискретної або неперервної)ознакиXз генеральної сукупностi утворено вибiркуx,x2, ...,xnобсягомnелементiв.Якщо записати елементи у порядкузростанняотримаємоварiацiйний ряд.Спостережуванi рiзнi значення x i ознаки X називаються варiантами, кiлькiстьзначень однiєї варiанти у вибiрцi - їїчастотоюni, вiдношення частоти до обсягу вибiрки - вiдносною частотою або емпiричною ймовiрнiстю. Полiгоном частот

називають ламану, що з’єднує точки

(x1;n1);(x2;n2); :::;(xk;nk):