38. Смягчение проблемы гетероскедастичности. Метод взвешенных наименьших квадратов (внк) в случае пропорциональности неизвестных дисперсий отклонений квадратам значений независимой переменной.
При
наличии гетероскедастичности 
и
величина Ki
может
меняться от одного значения фактора к
другому. При наличии гетероскедастичности
вместо обычного МНК используют обобщенный
МНК (взвешенный). Суть метода заключается
в уменьшении вклада данных наблюдений,
имеющих большую дисперсию в результате
расчета.
1
случай. Если дисперсии возмущений
известны 
,
то гетероскедастичность легко устраняется.
Вводят новые переменные: 
; 
; 
, 
Регрессионная модель в векторной форме:
(*)
/: 
, 
.
При
этом 
,
т.е. модель гомоскедастична.
2случай. Если
дисперсии возмущений неизвестны, то
делают реалистические предположения
о значениях 
.
Например:
а)
дисперсии 
пропорциональны
xi: 
.
Уравнение регрессии (*) делят
-
на 
-
в случае одной переменной; — на 
-
в случае множественной регрессии.
б)
дисперсии 
пропорциональны 
,
т.е.
,
Уравнение регрессии (*) делят на хi.
39 Метод взвешенных наименьших квадратов (внк) в случае пропорциональности неизвестных дисперсий отклонений значениям независимой переменной.
Рассмотрим
случай, когда дисперсии отклонений
неизвестны
и пропорциональны 
.Уравнение
линейной регрессии 
.Разделим
обе части этого уравнения на 
Тогда 
Обозначим 
Тогда 
.
Для
этого уравнения уже выполнено условие
гомоскедастичности. Методом наименьших
квадратов находим оценки коэффициентов
β0,
β1 и
возвращаемся к исходному уравнению
.
В случае, когда число факторов t>1,
исходное уравнение делится на переменную,
которая в максимальной степени связана
с 
.
40. Автокорреляция. Метод рядов. Таблица Сведа -Эйзенхарта.
Под автокорреляцией (сериальной, последовательной корреляцией) понимается корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными определенным образом. Автокорреляция возмущений наиболее часто встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов (наблюдения упорядочены во времени), при использовании пространственных (перекрестных) выборок наличие автокорреляции на практике встречается довольно редко. Поэтому в дальнейшем вместо символа i, обозначавшего по- рядковый номер наблюдения, будем использовать символ t , отражающий момент наблюдения.
Коэффициент автокорреляции:
Положительная
автокорреляция, если:
и наоборот с отрицательной.
Последствия автокорреляции при применении МНК в определенной мере схожи с последствиями гетероскедастичности:
1. Оценки параметров остаются несмещенными и состоятельными, но являются неэффективными.
2. Дисперсии оценок являются смещенными (как правило в сторону занижения, что приводит к увеличению t -статистик).
3.Оценка
дисперсии возмущений
является смещенной оценкой (чаще всего
заниженной).
4. Вследствие вышесказанного результаты тестирования гипотез (выводы по t и F статистикам, определяющим значимость коэффициентов регрессии и коэффициента детерминации) оказываются недостоверными — так, например, статистически значимыми могут быть признаны коэффициенты, которые таковыми не являются. Можно сказать, что наличие автокорреляции означает неадекватность построенной регрессии «истинной» зависимости и невысокие прогнозные свойства построенной модели.
Метод рядов:
Последовательно определяются знаки отклонений ut, t = 1, 2, ..., Т. Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.
Пусть n — объем выборки;
n1 — общее количество знаков «+» при n наблюдениях;
n2 — общее количество знаков «-» при n наблюдениях;
k — количество рядов.
Если при достаточно большом количестве наблюдений (n1>10, n2>10) количество рядов k лежит в пределах,то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется Найдя знаки отклонений теоретических уровней от фактических, мы получили, что в анализируемой выборке содержится 15 рядов, т.е. k=15. Общее количество знаков «+» n1=14, количество знаков «-» n2=16. Подставим найденные значения в формулу, получим, что k1=8,76, k2=23,11. Следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.