80) Многофакторная регрессионная модель с адаптивным механизмом

Необходимость применения принципов адаптации при построении многофакторных моделей возникает тогда, когда есть основание считать, что степень влияния факторов на моделируемый показатель зависит от времени, т.е. когда для достижения адекватности реальному процессу требуется модель с изменяющимися во времени коэффициентами. В общем случае такую модель можно записать в виде

 , (5.40)

где   значение зависимой переменной (показателя) в момент   ;

 -мерная вектор-строка значений независимых переменных (факторов) в момент   ;

 -мерный вектор-столбец оцениваемых коэффициентов модели, изменяющих с течением времени свои значения по неизвестному закону;

 ненаблюдаемая случайная ошибка.

81Дисперсионное отношение

F-критерий Фишера называют дисперсионным отношением, так как он формируется как отношение двух сравниваемых несмещенных оценок дисперсий.

Пусть в результате наблюдений получены две выборки. По ним вычислены дисперсии и , имеющие и степеней свободы. Будем считать, что первая выборка взята из генеральной совокупности с дисперсией , а вторая – из генеральной совокупности с дисперсией . Выдвигается нулевая гипотеза о равенстве двух дисперсий, т.е. H₀: или . Для того, чтобы отвергнуть эту гипотезу нужно доказать значимость различия при заданном уровне значимости .

Значение критерия вычисляется по формуле:

.

82 Адаптивная многорегрессионная модель

Общее назначение множественной регрессии (этот термин был впервые использован в работе Пирсона - Pearson, 1908) состоит в анализе связи между несколькими независимыми переменными (называемыми также регрессорами или предикторами) и зависимой переменной.

М. p. — метод многомерного анализа, посредством к-рого зависимая переменная (или критерий) Y связывается с совокупностью независимых переменных (или предикторов) Xпосредством линейного уравненияY' = а + b₁Х₁ + b₂Х₂ + ... + b_kX_k. Коэффициенты регрессии или, по-другому, весовые коэффициенты b обычно определяют методом наименьших квадратов, минимизируя сумму квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной от соотв. предсказанных значений.

83 Расстояние Махаланобиса

расстояние Махалано́биса — мера расстояния между векторами случайных величин, обобщающая понятие евклидова расстояния.  С помощью расстояния Махаланобиса можно определять сходствонеизвестной и известной выборки. Оно отличается от расстояния Евклида тем, что учитывает корреляции между переменными и инвариантно к масштабу. Формально, расстояние Махаланобиса от многомерного вектора   до множества со средним значением   и матрицей ковариации   определяется следующим образом:

^[2]

Расстояние Махаланобиса также можно определить как меру несходства между двумя случайными векторами   и   из одного распределения вероятностей с матрицей ковариации   :

Если матрица ковариации является единичной матрицей, то расстояние Махаланобиса становится равным расстоянию Евклида. Если матрица ковариации диагональная (но необязательно единичная), то получившаяся мера расстояния носит название нормализованное расстояние Евклида:

Здесь   — среднеквадратичное отклонение   от   в выборке.