62. Меры связи на основе критерия хи-квадрат. Коэффициент Крамера. Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона. Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова.

Критерий - статистический критерий для проверки гипотезы , что наблюдаемая случайная величина подчиняется некому теоретическому закону распределения.

Пусть дана случайная величина X .

Гипотеза : с. в. X подчиняется закону распределения .

Для проверки гипотезы рассмотрим выборку, состоящую из n независимых наблюдений над с.в. X: . По выборке построим эмпирическое распределение с.в X. Сравнение эмпирического и теоретического распределения (предполагаемого в гипотезе) производится с помощью специально подобранной функции — критерия согласия. Рассмотрим критерий согласия Пирсона (критерий ):

Гипотеза : Хⁿ порождается функцией .

Разделим [a,b] на k непересекающихся интервалов ;

Пусть - количество наблюдений в j-м интервале: ;

- вероятность попадания наблюдения в j-ый интервал при выполнении гипотезы ;

- ожидаемое число попаданий в j-ый интервал;

Статистика: - Распределение хи-квадрат с k-1 степенью свободы.

Проверка гипотезы

Распределение хи-квадрат

В зависимости от значения критерия , гипотеза может приниматься, либо отвергаться:

• , гипотеза выполняется.

• (попадает в левый "хвост" распределения). Следовательно, теоретические и практические значения очень близки. Если, к примеру, происходит проверка генератора случайных чисел, который сгенерировал n чисел из отрезка [0,1] и гипотеза : выборка распределена равномерно на [0,1], тогда генератор нельзя называть случайным (гипотеза случайности не выполняется), т.к. выборка распределена слишком равномерно, но гипотеза выполняется.

• (попадает в правый "хвост" распределения) гипотеза отвергается.

КОЭФФИЦИЕНТ КРАМЕРА - мера связи (см.) двух номинальных переменных (см.) на основе критерия хи-квадрат (см.). Применяется к таблицам сопряженности произвольной размерности. Вычисляется по формуле:

где χ² - вычисленное по таблице сопряженности значение критерия хи-квадрат;

n- объем выборки;

r- количество строк в таблице;

c- количество столбцов в таблице.

Принимает значения из интервала [0; +1]. При отсутствии статистической связи между переменными значение коэффициента равно 0; при полной связи (когда значение одной переменной полностью определяется значением второй переменной) достигает +1.

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона С также является мерой связи двух признаков, если один из них измерен по шкале наименований и может иметь несколько значений (больше двух), а второй признак измерен по такой же шкале или по шкале порядка, или по шкале интервальной, или по шкале пропорциональной.

Этот коэффициент также рассчитывается с помощью критерия хи-квадрат Пирсона, расчетное значение которого подставляется в формулу:

, где N — общий объем выборки.

 

Таблиц с критическими значениями для коэффициента взаимной сопряженности Пирсона не существует. Поэтому поступают следующим образом:

1. Вычисляют расчетное значение критерия хи-квадрат Пирсона.

2. Сравнивают его с критическим значением критерия хи-квадрат Пирсона для соответствующего числа степеней свободы (см. приложение 1.6).

3. Если χ²_расч < χ²_табл , то расхождения между рас­пределениями статистически недостоверны, или признаки изменяются несогласованно, или связи между признаками нет. Делается вывод об отсутствии взаимосвязи. Величину коэффициента С можно в этом случае не вычислять.

4. Если χ²_расч ≥ χ²_табл , то рас­хождения между распределениями статистически достоверны, или признаки изменяются согласованно, или связь между признаками статистически значима.

5. Далее вычисляется значение коэффициента взаимной сопряженности Пирсона, которое и является мерой связи. Чем больше это значение (величина этого коэффициента может быть только положительной и изменяется от 0,00 до +1,00), тем сильнее взаимосвязь.

Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова К является мерой связи двух признаков, если один из них измерен по шкале наименований и может иметь несколько значений (больше двух), а второй признак измерен по такой же шкале или по шкале порядка, или по шкале интервальной, или по шкале пропорциональной.

Этот коэффициент рассчитывается с помощью критерия хи-квадрат Пирсона, расчетное значение которого подставляется в формулу:

при k≠m, где k — число градаций одного признака, m — число градаций значений другого признака

 

при k=m

Таблиц с критическими значениями для коэффициента взаимной сопряженности Чупрова не существует.