3.3. Вирази, що містять квадратні корені

І друга тема програми і другий розділ даних підручників присвячені поняттю квадратного кореня.

Традиційно, спочатку визначають загальний квадратний корінь або неарифметичний корінь із дійсного числа, без доведення приймають той факт, що існують два і тільки два квадратних кореня із додатнього дійсного числа. Ці корені є однаковими за модулем і різними за знаком.

Далі треба або говорити про те що у сучасній математиці є загальна домовленість про те що, якщо у математичному виразі фігурує квадратний корінь (або взагалі довільний корінь парного степеня), то цей корінь вважається арифметичним. Це означає що подібного кореня не існує, якщо підкореневий вираз є від’ємним, і навпаки, він існує і приймає єдине значення, якщо підкореневий вираз є не від’ємним.

Значення арифметичного квадратного кореня завжди не від’ємне. Ці означення стверджують що будь – який ірраціональний вираз, що містить квадратний корінь, вимагає обмежень на допустимі значення букв, які він містить, з приводу того що кожний підкореневий вираз повинен бути не від’ємним.

У підручнику [1] перелічені і навіть обґрунтовані найпростіші властивості арифметичного квадратного кореня.

При цьому обмеження на підкореневі вирази краще наводити у вигляді нерівності а не текстом.

У підручнику [3] найпростіші властивості арифметичного квадратного кореня перелічені, а ось обмеження наведені нерівностями на відміну від [1]. В свою чергу підручник [2]надає властивості у вигляді таблиці. Але на мою думку, це велика помилка, так як інформація в такому вигляді, для дітей, не так ефективно запам’ятовується.

Отже, тепер можна розглядати як цілі ірраціональні вирази, так і дробово - ірраціональні вирази і виконувати тотожні перетворення над ними. А тотожності можуть бути як абсолютні так і відносні, наприклад, навіть стандартна властивість арифметичного квадратного кореня є насправді лише відносною тотожністю.

Особливо багато складних випадків виникає при розв’язанні завдань типу «винести множник з під знака кореня» або «внести множник під знак кореня».

Саме тому подібні завдання часто супроводжуються вказаними за умовою обмеженнями на знак певних букв.

Приклади завдань на розглянуту тему.

Підручник [1]

с.167

№ 784 Винесіть множник з під знака кореня

б)

в)

г)

№ 786 Внесіть множник під знак кореня, якщо x > 0

a)

б)

в)

г)

Підручник [2]

c.173

№ 358 Винесіть множник з під знака кореня

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Підручник [3]

c.115

№ 618 Внесіть множник під знак кореня

1. 

2. 

3. 

4. .

IV. Рівняння з одним невідомим

4.1 У змісті курсу математики сьомого класу продовжується змістова лінія, присвячена рівнянням, у першу чергу рівнянням з одним невідомим.

Початок цієї змістової лінії відноситься ще до матеріалу першого класу. У восьмому класі наведено повну теорію розв’язання лінійних рівнянь з одним невідомим.

При вивченні перших розділів курсу алгебри восьмого класу, лінія рівнянь продовжується на рівні поняття про раціональне рівняння і ОДЗ раціонального рівняння.

Реально розв’язуються лише такі раціональні рівняння, для знаходження ОДЗ яких, треба розв’язувати саме лінійні рівняння, і розв’язання яких зводиться до розв’язання лінійних рівнянь.

У той же час, варто підкреслювати, що знаходження ОДЗ дробово раціонального виразу також зводиться до дослідження і розв’язання відповідних рівнянь, у випадках наявності розв’язка. Тут мова може йти, як взагалі про рівняння з одним невідомим, так і про рівняння з декількома невідомими. Такі рівняння не обов’язково розв’язувати, але треба їх усвідомлювати.

Ірраціональні вирази, що містять квадратні корені також вимагають ОДЗ, знаходження якого у більшості випадків зводяться до розв’язання відповідної нерівності. Це може бути нерівність як з однією, так і з більшою кількістю невідомих.

Отже, з математичної точки зору, значно доцільніше було б ще у матеріалі сьомого класу, паралельно з темою «Лінійні рівняння», розглядати тему «Лінійні нерівності». Це не тільки є цілком природнім, а й дозволило б закріпити матеріал даної теми у восьмому класі, під час знаходження ОДЗ найпростіших ірраціональних виразів. Але це вже зауваження до діючої програми.

У останньому розділі курсу алгебри восьмого класу, всебічно розглянуто поняття про квадратні рівняння. Але при цьому означення квадратного рівняння у підручнику [2] передує введення поняття про алгебраїчне рівняння з одним невідомим довільного степеня. У підручнику [1] та [3] цього немає.

У всіх підручниках після означення квадратного рівняння введено поняття про неповні квадратні рівняння. Одночасно виникає природне питання, чому немає означення повного квадратного рівняння.

При цьому у підручнику [2] лише наведено загальну схему розв’язання неповних рівнянь без жодних помилок на рівносильні перетворення рівнянь. У підручнику [3], наведена загальна схема розв’язування неповних квадратних рівнянь у вигляді таблиці, в якій розглянуті всі можливі випадки.

У підручнику [1] мова йде про рівносильні перетворення неповних квадратних рівнянь. Але при цьому дивує твердження про те, що неповне рівняння виду завжди має два корені, якщо вже у наступному параграфі стверджується, що загальне квадратне рівняння для якого D=0 має єдиний корінь. Ця суперечність вказує лише на математичну неохайність авторів підручника, але суттєво впливає на учнів.

У всіх трьох підручниках після цього розглянуто формулу коренів загального квадратного рівняння, при цьому введено поняття про дискримінант. Тут автори підручників не є одностайними у питанні про кількість коренів квадратного рівняння, дискримінант якого дорівнює нулю. Так у підручнику [1] та [3] вказано, що при D=0, єдиний корінь, а ось у підручнику [2] – рівняння має два рівні корені.

Автори підручника [1], у рубриці «Хочете знати більше», розглядають питання про формулу коренів зведеного квадратного рівняння, другий коефіцієнт якого парне число. Автори підручника [2] вважають подібний матеріал дуже важливим, і для всіх учнів пропонують його в обов’язковій формі. А ось автор підручника [3], вирішив що ця інформація не є важливою, тому взагалі не написав жодного слова про цей випадок.

Потім розглядають теорему Вієтта, як пряму, так і обернену. У всіх підручниках, доведення прямої теореми Вієтта спирається на формулу коренів квадратного рівняння.

Далі розглядаються задачі, алгебраїчний варіант розв’язання яких зводиться до складання і розв’язання квадратних рівнянь.

Після цього розглядаються також цілі раціональні і дробово раціональні рівняння, розв’язання яких зводиться до розв’язання квадратних рівнянь. У тому числі і розглянуті бі квадратні рівняння.

Під час обговорення способів розв’язання дробово раціональних рівнянь, у підручнику [2], сказано що: традиційним способом розв’язання дробово раціональних рівнянь є зведення до спільного знаменника всіх доданків, які в більшості випадків переносять у ліву частину рівняння, і використовують умову рівності дробу нулю, тобто дріб тоді і тільки тоді, коли .

Наведено приклад розв’язання раціонального рівняння таким способом, насправді такий спосіб є математично не доцільним. Більш ефективним способом є наступний:

1. Спочатку знайти ОДЗ даного рівняння. Під час знаходження подібного ОДЗ розкласти всі знаменники на множники.

2. Домножити обидві частини рівняння на найменше спільне кратне всіх знаменників (але ж, до того, у першому розділі підручника треба ввести поняття про НСК).

3. Розв’язати утворене ціле раціональне рівняння.

4. Перевірити, які із знайдених коренів входить до ОДЗ, і лише такі корні включити у відповідь.