28

«Змістові лінії курсу алгебри восьмого класу середніх загальноосвітніх навчальних закладів та їх відображення у сучасних шкільних підручниках»

Зміст

Вступ

І Поняття про дійсні числа

ІІ Степені та корені

1. а) Натуральний степінь

б) Нульовий степінь

г) Від’ємний цілий степінь

2. а) Квадратний корінь

б) Арифметичний квадратний корінь

ІІІ Математичні вирази та їх тотожні перетворення

1. Раціональні вирази

2. Квадратичний тричлен

3. Вирази, що містять квадратні корені

ІV Рівняння з одним невідомим

1. Раціональні рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь

2. Квадратні рівняння

V Функції

1. Функції

2. Функції

3. Функції

Висновок

Література

І. Поняття про дійсне число

У восьмому класі закінчується поняття про дійсне число. Це відбувається під час вивчення другої теми. Мається на увазі узагальнити ті поняття про натуральне ціле раціональне число, які були сформовані під час опанування матеріалів попередніх класів, та ввести поняття про ірраціональне число, і на підставі цього – загальне поняття пр. дійсне число.

У підручнику [1] під час вище сказаного узагальнення, мова йде про раціональні числа, як числа,які можна представити у вигляді відношення двох цілих чисел. Подібне речення є цілком не зрозумілим, тому що певні числа визначаються як числа, які можна подати у спеціальному виді, тобто не зрозуміло через що.

Насправді у підручнику записано не «представити»,а «записати». Якщо було б написано слово «представити», то це було б вірно з математичної точки зору, але б тоді вимагало пояснень саме слово «представити». А слова «можна записати» є цілком не зрозумілими. До того ж,цілком вірно йде мова про відношення двох цілих чисел. А серед цілих є і від’ємні числа, тому потрібно було б навести відповідні приклади, але їх немає.

Далі мова йде про існування цілих чисел, які є відмінними від раціональних. Про яке існування безпосередньо йде мова? Про існування в математиці, чи в природі, чи ще десь…? Про які обчислення значень , чи π взагалі йде мова. Чи відомі діти з алгоритмом вилучення квадратного кореня, чи алгоритмом обчислення числа π? Здається що ні, а тоді про яке обчислення взагалі йде мова? І це не вірно, що всі числа, у математиці, які не є раціональними, називаються ірраціональними.

У підручнику [2], на відміну від підручника [1] поняття раціонального числа дається більш точно та зрозуміліше:

«Число, яке можна подати у вигляді дробу , де m – ціле число, а n – натуральне число, називається раціональним числом».

В цьому визначенні присутнє слово «подати», і конкретизується у множині яких чисел взяті числа m та n.

Існування ірраціонального числа доводиться методом від супротивного, на прикладі . В цьому підручнику приходять, в результаті доведення, до того що не являється раціональним числом. Але на якій підставі автори підручника роблять висновок, що ті числа, які не являються раціональними, обов’язково є ірраціональними.

На підтвердження їхніх слів немає ніякого доведення, наглядного прикладу або математичного пояснення. Тому, на мою думку, це твердження являється не зовсім достовірним.

В підручнику [3] дається таке ж визначення раціонального числа, як і в підручнику [2].

Визначення ірраціонального числа, на відміну від двох попередніх підручників, дається невеликим поясненням припущення автора, а саме:

«Числа, які не можна записати у вигляді , де m – ціле число, а n – натуральне число, називається ірраціональним».

Тобто в цьому значенні конкретизується поняття ірраціонального числа.

Ц всіх трьох підручниках прикладами ірраціонального числа вважається , π і так далі. Але ж учні не вміють обчислювати подібні приклади. Тому, на мою думку, не зовсім коректно наводити подібні приклади.

Остаточний висновок про дійсне число, у всіх підручниках – однакові:

«Раціональні числа разом з ірраціональними числами утворюють множину дійсних чисел».

Але доведення цього висновку, в даних підручниках, містить в собі багато сумнівів та недоліків.

ІІ. Степінь та корені

2.1 Під степенем скорочено називають математичний вираз у вигляді , де a і α – певні числа, а саме а називається основою степеня, α – показником степеня.

Про ці чи інші степені говорять у залежності, яким є сам показник степеня.

Відповідно до програми алгебри восьмого класу загальноосвітніх шкіл І – ІІІ ступенів, властивості степеня з натуральним показним розглядаються у курсі алгебри сьомого класу.

У курсі алгебри восьмого класу підкреслюється, що степінь з цілим додатнім показником – це теж саме що й степінь з натуральним показником. Це цілком зрозуміло, бо додатні цілі числа – це натуральні числа.

Отже степінь з натуральним показником – це вираз вигляду де n є N.

Згідно з означенням цей степінь однозначно визначений для будь – якого a є R.

Степінь з нульовим показником розглядається вже у восьмому класі. Навести означення так само, як наводяться означення - неможливо. Отже теоретично це можна визначити як завгодно, або не визначати взагалі.

За означенням для довільних а є R, . Можна тільки пояснити, чому таке означення виявляється зручним. Що фактично і роблять автори підручників [1], [2], [3]. Але висловлювання типу, що поняття степеня з нульовим показником випливає з властивостей степеня з натуральним показником у підручнику [2] математично є не вірним.

У підручнику [1] стверджують, що властивості степенів з цілими показниками такі саме як і степенів з натуральними показниками. Але це не зовсім так, є декілька нюансів , які враховані в підручнику [3]:

« Властивості степеня з натуральним показником, справджуються і для степеня з будь – яким цілим показником (але необхідно зауважити, що основа степеня відмінна від нуля). Отже:

• Для будь – яких і будь – яких цілих m n:

• Для будь – яких і будь – якого цілого n:

Як на мене, ці властивості степеня записані правильно з математичної точки зору.

Пояснень, чому у математиці визнали доцільним взагалі не визначати вираз у кожному з підручників [1] - [3] немає.

Для степеня з від’ємним цілим показником, реально наводяться лише означення. Це цілком коректно і не потребує якихось пояснень. Достатньо лише відпрацювання на достатній кількості практичних вправ.

Таким чином, у восьмому класі виявляється визначеним поняття степеня з довільним цілим показником, формуються і певному степені обґрунтовуються властивості такого степеня.

2.2 Квадратні корені як продовження даної теми, розглядається у другому розділі. У всіх підручниках наводяться приклади як означення просто квадратного кореня з певного дійсного числа, так і означення арифметичного квадратного кореня.

Доводяться стандартні властивості арифметичних квадратних коренів:

Особливу увагу присвоєно тотожності , та вправам на винесення множника з – під знака кореня.

У підручниках [1] та[3] спочатку дається означення квадратного корня, даються приклади розв’язування подібних завдань у підручнику [3]. У підручнику [2], спочатку розглядають розв’язання графічним способом рівняння вигляду . При цьому виділяють 3 випадки, кожний з яких розглянуто та проілюстровано за допомогою графіків. Тільки після цього, як висновок та узагальнення дається означення квадратного корня.

ІІІ. Математичні вирази та їх тотожні перетворення