Розділ 5. Вступ до математичного аналізу

§1. Множини

1.1. Поняття множини

Поняття множини належить до первинних понять математики, яке не визначається через більш прості.

Під множиною розуміють сукупність деяких об’єктів, виділених за певною ознакою з інших об’єктів.

Об’єкти, які утворюють множину, називають елементами або точками множини.

Множини, звичайно, позначаються великими літерами латинської абетки: , а елементи, з яких складаються множини – малими: .

Якщо елемент належить множині , тоді користуються записом , а якщо не є елементом множини , то записують .

Дуже важливими є дві особливі множини – універсальна множина і порожня множина. Універсальна множина (її позначають символом Ω) містить усі елементи розглядуваної задачі. Порожня множина (її позначають символом ) не містить жодного елемента з універсальної множини Ω. Наприклад, множина дійсних коренів рівняння є порожня множина.

Якщо множина складається із скінченої кількості елементів, тоді це скінчена множина, у протилежному випадку ― нескінчена множина.

Елементи записують у фігурних дужках, в середині яких вони перераховані (якщо це можливо), або вказується загальна властивість, якою володіють усі елементи даної множини. Наприклад, запис означає, що множина складається з трьох чисел: 1, 5 і 10, а запис означає, що множина складається із усіх дійсних чисел, які задовольняють нерівність .

Дві різні множини можуть мати одинакові елементи. Якщо кожен елемент множини А є також елементом множини В, то кажуть, що А є підмножиною множини В і позначають: (читається: А входить у В). Наприклад, якщо , , то .

Дві множини, наприклад, А і В, вважаються рівними ( ), якщо вони складаються з тих самих елементів.

Доповненням множини А є множина усіх елементів універсальної множини Ω, які не є елементами множини А. Доповнення множини А позначають .

За аналогією з арифметичними операціями, над множинами можна виконувати певні операції. Розглянемо три з них: об’єднання, перетин та різницю.

Об’єднанням (сумою) двох множин А і В (його позначають або ) називають таку множину С, елементи якої належать хоча б одній з множин А або В. Очевидно, що

Якщо множини А і В мають спільні елементи, тобто , то кожний із цих спільних елементів береться в множину тільки один раз.

Наприклад, нехай , , тоді .

Перерізом (добутком) двох множин А і В (його позначають або ) називають таку множину С, елементи якої належать як множині А, так і множині В. Якщо дві множини А і В не мають спільних елементів, то А  В= або АВ= , то у цьому випадку говорять, що множини не перетинаються. Такими множинами, зокрема, будуть (є)

Наприклад, нехай – множина всіх дільників числа 16, тобто , а – множина всіх дільників числа 12, тобто . Тоді перерізом множин А і В є множина , яка складається зі спільних дільників чисел 16 і 12.

Різницею двох множин А і В (позначають ) називають таку множину С, елементи якої – це ті елементи множини А, які не належать множині В.

Наприклад, якщо , , то .

Для ілюстрації множини, підмножини, доповнення множини, об’єднання множин, перерізу множин, різниці множин та ін. використовують графічне зображення множин у вигляді діаграм або кругів Ейлера-Вена (рис. 5.1.)

Рис. 5.1. Кругові діаграми:

а) доповнення множини А; б) об’єднання множин А і В;

в) переріз множин А і В; г) різниця множин А і В.

Зауважимо, що останнє означення рівносильне такому: .

Наприклад, якщо , , тоді , , , .