2.3. Метод уединения радикала

При решении иррациональных уравнений иногда целесообразно перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень «уединить радикал», то есть представить уравнение в виде . После возведения обеих частей уравнения в n-ую степень радикал в правой части равенства исчезнет.

Пример. Решим уравнение:

Решение. Метод уединения радикала приводит к уравнению . Данное уравнение равносильно системе:

Решим уравнение , получим корни и , но условие выполняется только для .

Ответ. .

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Уединив первый радикал, получаем уравнение равносильное исходному:

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение:

.

Последнее уравнение является следствием исходного уравнения.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, приходим к уравнению:

.

Это уравнение является следствием исходного уравнения и имеет корни , . Первый корень удовлетворяет исходному уравнению, второй корень не удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ. .

2.4. Метод введения новой переменной

Удобным средством решения иррациональных уравнений является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяют в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Обозначают такое выражение новой переменной, затем решают уравнение сначала относительно введенной переменной, затем возвращаются к исходной переменной и находят ее.

В ряде случаев удачно введенные новые переменные позволяют получить решение быстрее и проще.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Введем новую переменную. Пусть , тогда получим существенно более простое иррациональное уравнение .

Возведем обе части уравнения в квадрат: .

Далее последовательно получаем: ; ; ; ; , .

Проверяем найденные значения методом подстановки в уравнение , отсюда следует, что – корень уравнения, а – посторонний корень.

Вернемся к исходной переменной x, получим уравнение , то есть квадратное уравнение , решив которое находим два корня: , . Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. , .

Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение сводится к квадратному уравнению.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Перепишем уравнение так: .

Введем новую переменную. Пусть , тогда уравнение примет вид: , откуда , .

Вернемся к исходной переменной, получим два уравнения: и . Первое из уравнений решения не имеет, из второго уравнения получим , .

Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. , .

Отметим, что «бездумное» применение в данном примере метода «уединения радикала» и возведение в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, решение которого представляет собой в общем случае чрезвычайно сложную задачу.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Введем новую переменную. Пусть , .

Тогда исходное иррациональное уравнение сведено к квадратному уравнению: , откуда учитывая ограничение , получим . Решим уравнение , получим корень .

Как показывает проверка, удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ. .