1.11. Решение неравенств методом интервалов

В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена : точка делит числовую ось на две части − справа от точки двучлен , а слева от точки .

Пусть требуется решить неравенство , где – фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что .

Для решения неравенства методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа в промежутке справа от наибольшего из них, то есть числа , ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем – знак «плюс», затем знак «минус».

Тогда множеством всех решений неравенства является объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс».

Множеством решений неравенства является объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

Решение рациональных неравенств (то есть неравенств вида , , , , , и др., где и – многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках и , и, между этими точками, не имеет других корней, то в промежутках функция сохраняет свой знак.

Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции на числовой оси отмечают все точки, в которых функция обращается в нуль или терпит разрыв.

Эти точки разбивают числовую ось на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция непрерывна и не обращается в нуль, то есть сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой оси.

Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, то есть для решения рационального неравенства, отмечают на числовой оси корни числителя и корни знаменателя, которые являются корнями и точками разрыва соответствующей функции.

Для решения неравенств вида , где числовую ось разбивают на промежутки .

На каждом из этих промежутков исходное неравенство имеет постоянный знак. Поэтому достаточно узнать знак выражения в одной из точек промежутка, чтобы узнать его на всем промежутке. Определив знак выражения, выбираем те промежутки, на которых это выражение положительно. Объединение положительных промежутков и является множеством решений неравенства.

.

Пример. Решим неравенство .

Решение. Расположим на числовой оси корни многочлена, стоящего в левой части неравенства.

При многочлен положителен, так как все множители, стоящие в левой части положительны. Двигаясь по оси справа налево при переходе через точку , многочлен меняет знак и становится отрицательным. При переходе через точку многочлен не меняет знак. При переходе через точку многочлен опять меняет знак и становится положительным. Решением неравенства является все .

Решение рациональных неравенств вида , где и – многочлен, сводится к решению равносильного неравенства , полученного из данного неравенства умножением обеих частей неравенства на многочлен , который положителен при всех допустимых значениях неизвестного (то есть при , для которых .)

Пример. Для решения неравенства перенесем все слагаемые в левую часть и, приводя к общему знаменателю, получим равносильное неравенство равносильное неравенству .

Используя метод интервалов, имеем:

С помощью «пробных» точек найдем знак выражения в каждом промежутке. В интервалах выполняется неравенство.

Ответ.

Множеством решений нестрогих неравенств и является объединением всех решений строго неравенства и множества всех решений уравнения , а множеством решений нестрого неравенства вида является объединением множества всех решений неравенства и множества всех решений уравнения .

Пример. Решим неравенство .

Решение. Область определения данного неравенства , .

С учетом области допустимых значений данное неравенство равносильно неравенству , множество решений которого находим, объединив множество решений неравенства и множество решений уравнения . Нанесем числа, при которых числитель и знаменатель обращаются в нуль на числовую ось, и которые разбивают числовую ось на пять промежутков:

Принимая во внимание область определения исходного неравенства, находим множество его решений: .

Ответ. .

Пример. Решим дробно-линейное неравенство, указав его целые решения: .

Решение. Неравенство равносильно совокупности двух линейных систем неравенств:

.

Система (2) не имеет решений. Следовательно,, решением неравенства является . Целые решения неравенства: .

Ответ. Целые решения неравенства: .