Глава II.
2.1 Иррациональные уравнения
Определение. Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или возведена в дробную степень.
К простейшим иррациональным уравнениям
относят уравнения вида:
,
,
где
– выражения с переменной.
Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.
Главный способ избавиться от корня и
получить рациональное уравнение –
возведение обеих частей уравнения в
одну и ту же степень, которую имеет
корень, содержащий неизвестное, и
последующее «освобождение» от радикалов
по формуле
.
Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному уравнению.
При возведении уравнения в четную степень получают уравнение, являющееся следствием исходного. Поэтому возможно появление посторонних решений уравнения. Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в четную степень чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат.
Заметим, что потеря корней при возведении уравнения в четную степень невозможна.
Так как могут появиться посторонние корни, то необходимо делать проверку, подставляя найденные значения неизвестной только в первоначальное уравнение.
Рассмотрим применение данного метода
для решения иррациональных уравнений
вида
.
Пример. Решим уравнение:
.
Решение. Возведем обе части этого
уравнения в квадрат:
получим
,
откуда следует, что
или
.
Проверка.
:
.
Это неверное числовое равенство,
следовательно, число
не является корнем данного уравнения.
:
.
Это верное числовое равенство,
следовательно,, число
является корнем данного уравнения.
Ответ. .
Пример. Решим уравнение:
.
Решение. После возведения в квадрат
получаем уравнение:
,
откуда следует, что
или
.
Проверка.
:
.
Это верное числовое равенство,
следовательно,, число
является корнем данного уравнения.
:
.
Это неверное числовое равенство,
следовательно,, число
не является корнем данного уравнения.
Ответ.
.
Пример. Решим уравнение:
Решение. Преобразуем уравнение к
виду:
Возведем обе части данного уравнения
в квадрат, получим:
Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат, имеем:
откуда х1=5; х2=197.
Проверка показывает, что х2=197 – посторонний корень, х=5 – корень уравнения.
Ответ.
2.2 Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств
Проверка, осуществляемая подстановкой найденного решения в исходное уравнение, может быть легко реализована, если проверяемые корни – «хорошие» числа, для «громоздких» корней проверка может быть сопряжена со следовательно,ельными вычислительными трудностями. Поэтому иногда более рационально решать иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований, так как, выполняя равносильные преобразования, можно не опасаться ни потери корней, ни приобретения посторонних решений.
Аккуратное возведение в четную степень уравнения вида состоит в переходе к одной из равносильных ему систем:
Неравенство
в этой системе выражает условие, при
котором уравнение можно возводить в
четную степень, отсекает посторонние
решения и позволяет обходиться без
проверки.
Иногда добавляют к данной системе
неравенство
.
Однако этого делать не нужно и даже
опасно, поскольку условие
автоматически выполняется для корней
уравнения
,
в правой части которого стоит
неотрицательное выражение.
Пример. Решим уравнение:
.
Решение. Это уравнение равносильно
системе:
Решим первое уравнение системы, оно
равносильно уравнению
,
получим корни
и
.
Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.
Ответ. .
Рассмотрим схему решения еще одного вида иррациональных уравнений .
Такое уравнение равносильно каждой из двух систем:
или
Поскольку после возведения в четную
степень получают уравнение, являющееся
следствием уравнения
,
то решив его, необходимо выяснить,
принадлежат ли найденные корни области
определения исходного уравнения, то
есть выполняется ли неравенство
(или
).
На практике из этих систем выбирают для решения ту, в которой неравенство проще.
Пример. Решим уравнение:
.
Решение. Это уравнение равносильно
системе:
Решим первое уравнение системы, оно
равносильно уравнению
,
получим корни
и
.
Однако, при этих значениях x
не выполняется неравенство
,
и потому данное уравнение не имеет
корней.
Ответ. Корней нет.
Пример. Решим уравнение:
.
Решение. Данное уравнение равносильно системе:
Ответ
.
Пример. Решим уравнение:
Решение. Умножим данное
уравнение на
,
тогда исходное уравнение равносильно
системе:
Ответ.
