1.5. Доказательство некоторых неравенств
Рассмотрим доказательства некоторых неравенств. Способы доказательства состоят в следующем:
− оказываемое неравенство путём преобразований, основанных на свойствах неравенств и сохраняющих их равносильность, сводят к неравенству, справедливость которого известна;
− путём равносильных преобразований очевидное или известное неравенство сводят к доказываемому неравенству;
− комбинируют первый и второй способы, то есть преобразуют как известное, так и доказываемое неравенства.
Применение данных способов проиллюстрируем примерами.
Пример. Докажем неравенство:
.
Доказательство. В самом деле, разность
.
Очевидно, что
,
следовательно,
,
причем равенство достигается только
при
.
Неравенство доказано.
Пример. Докажем неравенство:
.
Доказательство. Так как
,
,
,
то неравенство принимает вид:
.
Это неравенство приводится возведением
в квадрат к равносильному:
,
то есть
,
что очевидно.
Заметим, что равенство достигается лишь
в случае, когда числа
и
имеют одинаковые знаки или хотя бы одно
из них равно нулю.
Неравенство доказано.
Пример. Докажем неравенство:
.
Доказательство. В самом деле,
.
Поэтому
или
.
Неравенство доказано.
Пример. Докажем неравенство:
,
если
.
Доказательство. Число
называют средним арифметическим чисел
и
,
а число
– их средним геометрическим.
Другими словами докажем, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического.
Для доказательства
рассмотрим разность
.
Следовательно,,
,
причём равенство достигается только
при
,
что возможно только при
.
Неравенство доказано.
Замечание. Понятия среднего
арифметического и среднего геометрического
вводятся и для
неотрицательных чисел
этом случае справедливо неравенство:
,
причем равенство достигается лишь при
.
Неравенство доказано.
Пример.
Докажем неравенство:
,
если
и
,
причём
равенство достигается лишь при
.
Доказательство. В самом деле, числа
и
положительны. Поэтому среднее
арифметическое чисел
и
не меньше их среднего геометрического:
или
,
равенство только в том случае, когда
,
то есть при
,
так как
и
–
положительны. Неравенство доказано.
Пример. Докажем неравенство:
,
если
,
,
причем равенство достигается лишь при
.
Доказательство. В самом
деле,
Неравенство доказано.
Пример. Доказать, что
.
Решение. Складываются три известных
неравенства:
,
,
.
Получаем
.
Пример. Доказать, что
,
если
.
Решение. Умножая неравенства
,
,
.
Имеем
,
так как
.
Пример. Доказать, что
,
если
и
.
Решение. Используем равносильность
неравенств:
.
Неравенство доказано.
При доказательстве некоторых неравенств удобно использовать замену данных величин другими.
Пример. Доказать, что
,
если
,
.
Решение. Полагая
,
запишем неравенство в виде
,
,
равносильное известному
.
Неравенство доказано.
1.6. Неравенства первой степени с одной переменной
Определение. Неравенства вида
,
называют линейными неравенствами.
Если
,
то неравенство
,
следовательно,
множество решений данного неравенства
есть промежуток
.
Если
,
то неравенство
,
следовательно, множество
решений данного неравенства есть
промежуток
.
Если
,
то неравенство примет вид
;
оно не имеет решений, если
и верно при любых
,
если
.
Решением неравенства может быть подмножество множества, на котором задается неравенство и, как правило, решением неравенства является бесконечное множество, которое иллюстрируется на числовой оси:
Пример. Решим неравенство:
.
Решение.
;
;
;
.
Дадим иллюстрацию решения неравенства на числовой оси:
Ответ.
или
.
Пример. Решим неравенство:
.
Решение.
;
;
;
.
Дадим иллюстрацию решения неравенства на числовой оси:
Ответ.
или
.
Пример. Решим неравенство:
.
Решение.
;
;
;
.
Ответ. .
Пример. Решим неравенство:
.
Решение.
;
;
;
.
Ответ. .