1.3 Понятие неравенства с одной переменной

Определение. Пусть и – выражения с переменной , определенные соответственно на множестве и . Предикат вида , ( , , ), определенный на множестве , называют неравенством с одной переменной.

При дальнейшем изложении, вместо термина «неравенство с переменной» будем употреблять термин «неравенство».

Определение. Всякое значение переменной , при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство, называют решением неравенства.

Иначе говоря, если – решение неравенства, то число – это, то значение переменной , которое обращает неравенство в верное числовое неравенство.

Пример. – это неравенство с одной переменной. Оно представляет собой два алгебраических выражения соединенных знаком неравенства. Значение является решением данного неравенства, так как данное значение переменной обращает неравенство в верное числовое неравенство: ‒ верное числовое неравенство.

Решить неравенство – следовательно, найти все его решения или доказать, что их нет.

При дальнейшем изложении будем формулировать определения и утверждения для неравенства . Ясно, что аналогичные определения и утверждения можно сформулировать для неравенств:

, , .

Множество всех решений неравенства (или множество истинности предиката ), , принято называть множеством решения неравенства.

Определение. Множество всех чисел, при подстановке которых в неравенство вместо переменной , получают верные числовые неравенства, называют множеством решений данного неравенства.

Определение. Множество значений , при которых определены обе части неравенства, называют областью определения неравенства (областью допустимых значений переменной ).

Замечание. В дальнейшем, если не оговорено специально, под множеством будем понимать подмножество множества действительных чисел, и будем считать, что, и определены на всем множестве .

Неравенства, содержащие неизвестные величины, также как и уравнения, делят на алгебраические неравенства и трансцендентные. Алгебраические неравенства делят на неравенства первой, второй и т.д. степени.

Пример. Неравенство – алгебраическое неравенство, второй степени. Неравенство – трансцендентное неравенство.

1.4 Основные определения и утверждения о равносильности неравенств

Определение. Два неравенства , , , называют равносильными на некотором множестве , если их множества решений совпадают.

Пример. Неравенства и равносильны, так как решением каждого из них служит интервал .

Определение. Пусть на некотором множестве задано неравенство (1). Неравенство , , (2) называют следствием данного неравенства (1), если его множество решений является подмножеством множества решений неравенства (2).

Запись означает, что неравенство (2) есть следствие неравенства (1).

Пример. Неравенство является следствием неравенства . Так как множество решений второго неравенства есть подмножество множества решений первого неравенства .

Два неравенства равносильны тогда, и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Теорема 2. Если к обеим частям неравенства (1), прибавить выражение , определенное при всех , то получим новое неравенство (2), равносильное данному неравенству на множестве .

Доказательство. Покажем, что множества истинности неравенств (1) и (2) совпадают, то есть если – множество решений неравенства (1), – множество решений неравенства (2), то .

Пусть  решение неравенства (1), тогда  истинное числовое неравенство. Прибавим к обеим частям этого неравенства , тогда, по свойству истинных числовых неравенств,  истинное числовое неравенство.

Следовательно, является решением неравенства (2), то есть .

Пусть теперь  решение неравенства (2), тогда  истинное числовое неравенство. Прибавим к обеим частям выражение, тогда по свойству истинных числовых неравенств: , получим  истинное числовое неравенство.

Следовательно, является решением неравенства (1), то есть .

Таким образом, , следовательно, неравенства (1) и (2) равносильны.

Ясно, что теорема справедлива и для неравенств вида , , , .

Следствие. Члены неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

Теорема 3. Если выражение имеет смысл при всех и положительно на , то неравенства , (1) и , (2), равносильны.

Доказательство. Покажем, что множества истинности неравенств (1) и (2) совпадают, то есть если – множество решений неравенства (1), – множество решений неравенства (2), то .

Пусть принадлежит – множеству решений неравенства (1). Тогда справедливо числовое неравенство . Но – некоторое положительное число, так как по условию имеет смысл и положительно при всех , и, в частности, при .

Умножив обе части верного числового неравенства на одно и то же положительное число , получим верное числовое неравенство , которое показывает, что принадлежит и множеству решений неравенства (2). Следовательно,, каждое решение неравенства (1) является решением неравенства (2), то есть .

Пусть теперь принадлежит – множеству решений неравенства (2). Тогда – верное числовое неравенство. Но – некоторое положительное число , следовательно, и . Умножив обе части верного числового неравенства , на одно и то же положительное число , получим верное числовое неравенство , которое показывает, что принадлежит – множеству решений неравенства (1). Следовательно, каждое решение неравенства (2) является решением неравенства (1), то есть .

Таким образом, – данные неравенства равносильны.

Ясно, что теорема справедлива и для неравенств вида , , , .

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. Если имеет смысл при всех и отрицательно на , то неравенства , (1) и , равносильны.

Доказательство данной теоремы опустим.

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Приведем некоторые утверждения о равносильности неравенств.

Утверждение 1. Неравенства и равносильны.

Утверждение 2. Неравенства и равносильны при _.

Утверждение 3. Неравенства и равносильны для .

Утверждение 4. Неравенства и равносильны для .

Утверждение 5. Неравенства и равносильны для любого фиксированного числа такого, что .

Утверждение 6. Неравенство является следствием неравенства .

Утверждение 7. Неравенство является следствием неравенства , .

Ясно, что утверждения справедливы и для неравенств вида , , , .