2.11. Умножение обеих частей неравенства на функцию

Выражения и называют сопряженными друг другу. Заметим, что их произведение уже не содержит корней из и . Поэтому в ряде задач вместо возведения в квадрат, приводящего к слишком громоздким выражениям, целесообразно умножить обе части неравенства на выражение, сопряженное одной из них.

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Найдем область определения неравенства:

Умножим обе части данного неравенства на выражение, сопряженное его левой части и, очевидно, положительное в области определения неравенства:

.

Дальнейшее решение зависит от знака общего множителя левой и правой частей полученного неравенства .

Если выражение меньше нуля, то есть , сократив на этот отрицательный множитель, переходим к неравенству: из которого находим прямым возведением в квадрат (обе части данного неравенства положительны) .

Во втором случае, если общий множитель положителен, то есть при , после сокращения на него получим неравенство , из которого прямым возведением в квадрат (обе части данного неравенства положительны) получим, что оно справедливо при .

В третьем возможном случае – если общий множитель равен нулю, – неравенство не выполняется: так как , что неверно.

Ответ. .

Пример. Решим систему неравенств:

Решение. Для решения неравенства , рассмотрим функцию . График функции – парабола, ветви которой направлены вверх, изображен на рисунке 22. Из уравнения находим нули функции: при .

Изобразив схематично график функции видим, что при .

Рис.22 Рис.23

Множество решений неравенства : .

Решим неравенство , рассмотрев функцию . График функции – парабола, ветви которой направлены вверх, изображен на рисунке 22. Решим уравнение , и найдем нули функции: при .

Изобразив схематично график функции , видим, что множество решений неравенства : .

Очевидно, что множество решений системы неравенств .

Ответ. .

2.12. Метод введения новой переменной

Для решения иррациональных неравенств, так же как и для решения иррациональных уравнений, с успехом может применяться метод введения новой переменной.

Иногда удается иррациональную функцию, входящую в неравенство, заменить новой переменной таким образом, что относительно этой переменной неравенство становится рациональным⁶.

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Перепишем исходное уравнение в виде : .

Введем новую переменную. Пусть , тогда:

Вернемся к исходной переменной, для определения , получим совокупность неравенств:

Ответ. .

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Введем новую переменную. Пусть , где .

Тогда и для переменной получим рациональное неравенство:

.

Вернемся к исходной переменной и найдем значения :

.

Ответ. .

2.13. Решение иррациональных неравенств с использованием свойств, входящих в них функций

Использование монотонности функции

Пусть на промежутке задана возрастающая функция и требуется решить неравенство (или ). Если – корень уравнения , причем , то решения данного неравенства – весь промежуток (соответственно промежуток ). Единственность корня следует из монотонности . Понятно, что если требуется решить нестрогое неравенство, то при том же рассуждении в ответ войдет и число , а если функция задана на замкнутом или полуоткрытом промежутке, то в ответ войдут соответствующие концы промежутка⁷.

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Найдем область определения неравенства, решив систему: Областью определения неравенства является промежуток

Левая часть данного неравенства – возрастающая функция. Обозначим ее через . При левая часть равна правой части.

Учтем область определения исходного неравенства и рассмотрим неравенство на промежутке . Имеем , то есть данное неравенство выполняется. При , так как функция возрастает, то , то есть данное неравенство не выполняется.

Так как исследование проведено при всех допустимых значениях переменной , решение закончено.

Ответ. .

Использование области определения

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Область определения неравенства есть все значения переменной из промежутка . Разобьем это множество на два промежутка и .

Для из промежутка имеем , . Следовательно, на этом промежутке, и поэтому исходное неравенство не имеет решений на этом промежутке.

Пусть принадлежит промежутку , тогда и . Следовательно, для таких , и, следовательно, на этом промежутке исходное неравенство также не имеет решений.

Ответ. Корней нет.

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Область определения неравенства есть все значения переменной , удовлетворяющие условию . Ясно, что не является решением данного неравенства. Для из промежутка имеем , а . Следовательно, все из промежутка являются решениями данного неравенства.

Ответ. .

Использование графиков функций

Пример. Решим неравенство: .

Решение. Область определения неравенства есть все из промежутка . Эскизы графиков функций и представлены на рисунке 22. Из рисунка 22 следует, что для всех из области определения данное неравенство справедливо.

Рис.22

Докажем это. Для каждого из промежутка имеем , а для каждого такого имеем . Следовательно,, для каждого имеем . Следовательно, решениями исходного неравенства будут все из промежутка .

Ответ. .