§2. Основи портфельної теорії

Портфельний підхід на фінансовому ринку в наукових дослідженнях було запропоновано у 50-х рр. ХХ ст. у США для вирішення практичного завдання раціональними інвесторами щодо розподілу інвестицій раціональними інвесторами між різними видами цінних паперів в умовах невизначеності.

Засновником сучасної портфельної теорії є Гаррі Марковіц, який у 1952 р. опублікував наукову статтю «Портфельний відбір» (Portfolio Selection). Автор вважав дохідність цінних паперів випадковою величиною, що характеризується очікуваною дохідністю за період володіння (r) та середньоквадратичним відхиленням дохідності (σ – ризик інвестицій).

Очікувана дохідність цінного паперу за період володіння визначається наступним чином:

r_i =(Очікувана вартість в кінці періоду / Поточна вартість) – 1

На практиці для розрахунку дохідності цінного паперу використовується статистична дохідність:

, де

P_i – ціна фінансового інструменту в кінці періоду (дня, тижня, місяця, року);

P₀ – ціна фінансового інструменту на початок періоду.

Для пошуку оптимальної структури портфеля цінних паперів згідно моделі Марковіца також використовуються показники коваріації та кореляції цінних паперів.

Середньоквадратичне відхилення дохідності (волатильність) цінного паперу визначається за формулою:

, де

n – кількість періодів (днів, місяців, років);

r_i – дохідність цінного паперу в період i;

– середня дохідність цінного паперу за n періодів:

.

Коваріація відображає статистичну міру взаємозв`язку двох змінних. Додатне значення коваріації показує, що дохідності цінних паперів мають тенденцію змінюватися в одному напрямі, а при від`ємній коваріації навпаки:

Коваріація двох цінних паперів визначається за формулою:

, де

– дохідність цінного паперу x;

– дохідність цінного паперу y;

– середня дохідність цінного паперу x;

– середня дохідність цінного паперу y;

Коефіцієнт кореляції нормує коваріацію для полегшення порівняння з іншими парами змінних і щодо двох цінних паперів розраховується наступним чином:

, де

- стандартні відхилення дохідностей цінних паперів х та у.

Коефіцієнт кореляції змінюється в інтервалі від -1 до +1. Якщо він дорівнює +1, то це свідчить про додатну кореляцію і дохідність двох цінних паперів змінюється однаково, а коли коефіцієнт дорівнює -1, то зміна дохідності одного цінного паперу повністю протилежна до зміни дохідності іншого (якщо дохідність акції А склала +45%, то акції В -45% ).

На основі даних параметрів (дохідності цінних паперів, їх стандартних відхилень дохідностей та коваріації дохідностей) Марковіц пропонує здійснювати пошук ефективного портфеля.

Очікувана дохідність інвестиційного портфеля – це середньозважена за частками інвестицій очікувана дохідність кожного з цінних паперів, що входить у портфель:

де X_i – частка цінного паперу в портфелі;

r_p – очікувана дохідність портфеля;

r_i – очікувана дохідність цінного паперу.

Стандартне відхилення дохідності портфеля цінних паперів визначається за формулою:

де X_i, X_j – частка цінного паперу в портфелі;

σ_p – стандартне відхилення дохідності портфеля;

σ_ij – коваріації дохідностей i-го та j-го цінних паперів.

Для створення ефективного портфеля Марковіц ввів ряд припущень щодо поведінки інвестора при виборі активів:

1) інвестор не схильний до ризику (при виборі між двома інструментами з однаковими очікуваними дохідностями він надасть перевагу інструменту з меншим ризиком);

2) всі інвестори прагнуть до максимальної очікуваної дохідності при заданому рівні ризику;

3) у всіх інвесторів однакові погляди на очікувані дохідності, волатильність та коваріації усіх ризикових активів (однорідність очікувань);

4) у всіх інвесторів однаковий інвестиційний горизонт;

5) склад портфеля формується лише з ризикових активів;

6) на рішення інвестора впливають тільки два параметри – очікувана дохідність та ризик (модель Марковіца є двопараметрична).

Марковіц ввів поняття допустимого та ефективного портфелів.

Допустимий портфель – будь-який портфель, який може побудувати інвестор з наявних активів. Сукупність допустимих портфелів створюють допустиму множину портфелів.

Ефективний портфель (за критерієм ризик / дохід) – це допустимий портфель з множини, який:

1) забезпечує максимальну очікувану дохідність для певного рівня ризику;

2) забезпечує мінімальний ризик при певного значення очікуваної дохідності.

Набір ефективних портфелів складає ефективну множину.

Оптимальний портфель обирається кожним інвестором з ефективної множини, виходячи з його індивідуальної несхильності до ризику, яка визначається кривою байдужості (відображає відношення інвестора до ризику і дохідності).

Г.Марковіц пропонує методику знаходження ефективного портфеля з допомогою методів квадратичного програмування.

Важливим у теорії Марковіца є висновок щодо використання диверсифікації портфеля інвестицій, яка є таким способом побудови портфеля, при якій зменшується ризик без зменшення дохідності.

Марковіц вважає, що ефективної диверсифікації щодо зменшення ризику (стандартного відхилення) портфеля можна досягти шляхом вибору активів з від`ємною кореляцією.

Розвитком портфельної теорії є модель Шарпа-Тобіна-Лінтнера. Дж. Тобін запропонував включати до складу портфеля безризикові активи (в міжнародній практиці до безризикових активів відносяться державні цінні папери). Наявність без ризикового активу – це можливість надавати ресурси в борг (купувати державні цінні папери) та брати кошти в борг за без ризиковою ставкою.

Спільно з іншими вченими було визначено, що інвестор вибирає портфель, який складається з двох компонентів:

- безризикового;

- ризикового (ефективний портфель Марковіца).

Надалі портфельна теорія була вдосконалена У. Шарпом на основі моделі оцінки капітальних активів (capital assets price model – CAPM).

У відповідності до CAPM очікувана дохідність цінного паперу розраховується наступним чином:

, де

r_f – очікувана дохідність безризикового активу;

r_M – очікувана дохідність ринкового портфеля (включає всі цінні папери на ринку);

- коефіцієнт «бета», який вимірює рівень коваріації дохідності цінного паперу та ринкового портфеля.

На основі даної моделі Шарпом запропоновано для статистичних розрахунків використовувати формулу дохідності цінного паперу (на основі ринкової однофакторної регресійної моделі):

, де

_i – коефіцієнт зміщення (показує дохідність цінних паперів при нульовій дохідності ринкового індексу);

_iM – коефіцієнт нахилу (вимірює чутливість дохідності цінних паперів до дохідності ринкового індексу);

r_M – дохідність ринкового (фондового) індексу;

_iM – випадкова похибка.

Ризик цінного портфеля відображає вплив систематичного (ринкового) ризику («бета») та власного (несистематичного ризику) і визначається за формулою:

– дисперсія дохідності фондового індексу;

– ринковий ризик цінного паперу;

– власний ризик цінного паперу.

Шарп довів, що в результаті диверсифікації (збільшення кількості цінних паперів) портфеля цінних паперів несистематичний ризик зменшується до нуля, а ринковий ризик усереднюється.