2. Векторна форма запису злп

Максимізувати (мінімізувати) лінійну функцію

Z= C  Х  max (min) (4.4)

при обмеженнях

A₁  x₁ + A₂  x₂ +...+ A_n  x_n= В, Х  0, (4.5)

де С= (с₁, c₂, ..., c_n); X= (x₁, x₂, ..., x_n); C  X- скалярний добуток. Вектори А₁, А₂, ..., A_n, В складаються із коефіцієнтів при невідомих та вільних членів

А₁= , А₂= , ..., А_n= , В= .

3. Матрична форма запису злп

Максимізувати (мінімізувати) лінійну функцію

Z= C  X  max (min) (4.6)

при обмеженнях

A  X= В, X 0 , (4.7)

де С=(c₁, c₂, ..., c_n) - матриця-рядок; A= (a_іj), (i= , j= ) - матриця системи;

X= - матриця-стовпець, В= - матриця-стовпець.

4. Запис злп за допомогою символів сумування

Максимізувати (мінімізувати) лінійну функцію

Z= с_j  х_j  max (min) (4.8)

при обмеженнях

a_ij  x_j= b_i, i= ,

x_j  0, j= . (4.9)

Використовуючи форму запису ЗЛП за допомогою знаків сумування, математичні моделі задач лінійного програмування зручно подати в такій таблиці 4.1:

Таблиця 4.1

Канонічна	Стандартна	Загальна
Zmax, Zmin	1. Мета задачі: Z= сj  xj  max (min) Zmax, Zmin	Zmax, Zmin
Рівняння aij  xj= bi i= ,	2. Обмеження задачі: Нерівності aij  xj  bi i= ,	Рівняння і нерівності aij  xj bi i= ,
Всі змінні xj  0, j=	3. Умови невід’ємності: Всі змінні xj  0, j=	Частина змінних xj  0, j= (k<n) xj-довільні, j=

Поняття про базес n-вимірного векторного простору. Розклад векторів за базесом.

Базисом n-вимiрного векторного простору називається будь-яка сукупнiсть n лiнiйно незалежних векторiв цього ж простору.

Нехай в n-вимірному векторному просторі задана сукупність одиничних векторів

Е₁= (1, 0, ...., 0),

Е₂= (0, 1, ...., 0),

.........................

Е_n= (0, 0, ...., 1).

Неважко показати, що дана система векторів утворює базис n-вимірного векторного простору.

Справедлива теорема (про розклад векторів за базисом): всякий вектор n-вимірного векторного простору можна представити як комбінацію векторів базису цього простору і притому єдиним чином.

Розклад вектора за базисом та перехiд вiд одного базису до iншого полягає в наступному: нехай в n-вимiрному просторi задана система лiнiйно незалежних векторiв А₁, A₂, ..., A_n, A_n+1, ..., A_n+m. Оскільки n+m>n, то дана система векторів є лінійно залежною.

Виникає задача:

1. знайти пiдсистему iз n векторiв, якi утворюють базис;

2. розкласти iншi вектори цієї системи за векторами знайденого базису;

3. якщо iснує декiлька пiдсистем векторiв, якi утворюють базис, то перейти до нового базису i розкласти iншi вектори за векторами цього базису.

Поставлена задача розв’язується досить просто методом Жордана-Гаусса

Поняття плану задачі лінійного програмування властивості розвязку.

Планом або розв’язком ЗЛП (4.1)-(4.3) називається вектор X= (x₁, x₂,..., x_n), який задовільняє умови (4.2) і (4.3).

План X= (x₁, x₂, ...., x_n) називається опорним, якщо вектори А_i (i= ), які входять в розклад (4.5) з додатніми коефіцієнтами x_i, є лінійно незалежні.

Опорний план називається невиродженим, якщо він має m додатніх компонент. В іншому випадку опорний план називається виродженим.

Оптимальним планом (оптимальним розв’язком) ЗЛП називається план, при якому значення лінійної функції Z досягає найменшого (найбільшого) значення.