Поняття n-вимірного векторного прстрору основні операції над векотрами.
Сукупнiсть всеможливих впорядкованих систем з n дiйсних чисел пiсля введення в неї операцiй додавання i множення на число називається n-вимiрним простором.
Впорядкована система iз n дiйсних чисел а1, a2, ..., an називається n-вимiрним вектором i позначається так: А=(а1, a2, ..., аn). Числа aj (j= ) називають компонентами вектора А.
Коефiцiєнти будь-якого лiнiйного рiвняння з n невiдомими утворюють n-вимiрний вектор. Будь-який розв’язок СЛАР з n невiдомими є n-вимiрним вектором.
Основнi операції над векторами
Сумою векторів А і В називають вектор, компоненти якого дорівнюють сумі відповідних компонент доданків векторів
А + B= (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn).
Нульовий вектор - це вектор, всі компоненти якого є нулі
0 = (0, 0, ..., 0).
Протилежним до вектора А називається вектор
-A= (-a1, -a2, ..., -an).
Наслідок. Сума вектора А і протилежного до нього -А є нуль вектор
A+(-A)= 0.
Різницею двох векторів А і В є вектор
A - B= (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn).
Добутком вектора А на число k називається вектор
k A= (k1 a1, k2 a2, ..., k an).
Очевидно, що множення вектора на число є не що інше, як розтяг даного вектора в k- разів при |k| > 1, або його стиск в k - разів при |k| < 1.
Скалярним добутком двох векторів А і В називається дійсне число, яке дорівнює сумі добутків відповідних компонент цих векторів
A
B=
aі
bі
= a1
b1
+ a2
b2
+ ... +an
bn.
Модулем вектора (довжиною) називається число, яке визначається так:
|
A
|=
.
Лінійна залежнісь векторів
Вектор А називається пропорційним вектору В, якщо існує таке число k, що В= k А.
Узагальненням поняття пропорційності є поняття лінійної комбінації векторів.
Вектор В називається лiнiйною комбiнацiєю векторiв А1, А2, ..., Аn, якщо iснують такi числа k1, k2, ... , kn, для яких виконується співвідношення
В= k1 A1 + k2 A2 + ...+ kn An.
Система векторiв А1, A2, ... , Ar, (r2) називається лiнiйно залежною, якщо хоча б один iз векторiв системи є лiнiйною комбiнацiєю iнших, i лiнiйно незалежною - в протилежному випадку.
Рангом матриці називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора, який можна утворити із елементів даної матриці, зберігаючи порядок їх слідування.
Очевидно, що при безпосередньому обчисленні рангу немає необхідності обчислювати всі визначники m-го, (m-1)-го і т.д. порядків. Обчислюється визначник r-го порядку, що стоїть у верхньому лівому кутку матриці. У випадку, коли він відмінний від нуля, обчислюються тільки окаймляючі його визначники (r+1)-го, (r+2)-го, ..., m-го порядків. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює r.
Канонічний вигляд задачі лінійного програмування.
Задана ЗЛП в канонічній формі
Z= c1 x1 + c2 x2 +...+ cn xn max, (6.1)
(6.2)
xj
0,
j=
,
(6.3)
де
аij,
bj,
cj
(i=
,
j=
)-
задані постійні числа, причому (m
n,
bi>0).
Загальна постановка задачі лінійного програмування та її запис в різних формах.
При економіко-математичному моделюванні та розв’язанні задач планування і керування досить широкого поширення набули ЗЛП. Їх особливістю є те, що при їх математичному записі як цільова функція, так і система обмежень є лінійними.
ЗЛП можна подати в різних формах запису.
Розгорнута форма запису злп
Нехай дано лінійну функцію
Z= с1 x1 + с2 x2 +...+ сn xn max(min) (4.1)
і систему лінійних обмежень
(4.2)
xj 0, j= (4.3)
де aij, bi, cj, і= , j= - задані постійні величини.
Необхідно знайти такі невід’ємні значення x1, x2, ..., xn, які задовільняють систему обмежень (4.2) і надають лінійній функції (4.1) екстремального значення.
Лінійна функція (4.1) називається цільовою функцією (лінійною формою або функцією мети) ЗЛП (4.1)-(4.3), а умови (4.2) і (4.3) - обмеженнями даної задачі. Це приклад розгорнутої (скалярної) форми запису ЗЛП.
Запис ЗЛП у вигляді (4.1)-(4.3) називається канонічною (основною) формою запису ЗЛП, оскільки в ній обмеження (4.2) задані у формі рівностей.
У випадку, коли обмеження (4.2) містять як рівності, так і нерівності, то така задача називається загальною ЗЛП.
Якщо ж обмеження (4.2) містять лише нерівності, то така ЗЛП називається стандартною (симетричною) ЗЛП.