6.4. Коэффициент вариации.

Для сравнения вариации разных признаков наиболее часто применяется показатель относительной колеблемости – коэффициент вариации. Его используют не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности статистической совокупности. Статистическая совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному закону).

Принцип построения коэффициентов вариации таков:

(6.11)

Линейный коэффициент вариации	Квадратический коэффициент вариации	Коэффициент (6.12) осцилляции

Чаще всего на практике употребляется квадратический коэффициент вариации.

С помощью коэффициента вариации можно сравнивать размеры одного признака в нескольких совокупностях. Так, например, с помощью коэффициента вариации можно сравнивать вариацию срока службы станков на различных предприятиях, вариацию роста и веса населения в различных регионах страны.

Пример. Рассмотрим коэффициенты вариации срока службы электролампочек, выпускаемых на трех заводах. Исходные данные представлены в табл. 6.6.

Таблица 6.5

Срок службы электролампочек

Номер завода	Средняя продолжительность горения лампочек, ч., (х)			, %
1	800	-100	10000	10,20
2	1000	+ 100	10000	8,17
3	900	0	0	9,07
ИТОГО-	2700	0	20000

Вычислим среднюю арифметическую срока горения лампочек:

.

Вычислим среднее квадратическое отклонение:

.

Вычислим коэффициент вариации для каждого завода и занесем данные в таблицу. Наиболее низкий коэффициент вариации у электролампочек, выпускаемых на заводе № 2, что свидетельствует о большой однородности его продукции (в данном случае, однородности качества электролампочек).

6.5. Характеристики формы распределения.

Для получения приблизительного представления о форме распределения строят графики распределения (полигон и гистограмму). В практике статистических исследований приходится встречаться с самими различными распределениями. Однородные совокупности характеризуются как правило, одновершинными распределениями. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. В этом случае необходима перегруппировка данных с целью выделения более однородных групп.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также исчисление показателей асимметрии и эксцесса. В симметричном распределении , а чем заметнее асимметрия, тем больше отклонение между характеристиками центра распределения .

Стандартное отклонение называется коэффициентом асимметрии:

. (6.13)

В случае правосторонней асимметрии A_s > 0, левосторонней – A_s < 0. Если A_s < 0,25, считается, что ассиметрия низкая, если A_s ≤ 0,5 – средняя, а при A_s > 0,5 – высокая.

Рис. 6.1. Симметрия распределения

Оценивание коэффициента асимметрии также может производиться на базе центрального момента распределения и вычисляется по формуле:

(6.14)

где μ₃ – центральный момент третьего порядка: .

Алгебраически центральный момент распределения – это средняя арифметическая k-й степени отклонения индивидуальных значений признака от средней:

(6.15)

Очевидно, что момент второго порядка – это дисперсия, которая характеризует вариацию, моменты 3-го и 4-го порядков характеризуют соответственно ассиметрию и эксцесс.

Эксцесс распределения – степень сосредоточенности элементов совокупности около центра распределения. Показатель эксцесса (островершинности) рассчитывается по формуле:

, (6.16)

где μ₄ – центральный момент четвертого порядка .

Рис. 6.2. Эксцесс распределения

Эксцесс может быть положительным и отрицательным. У островершинных распределений показатель эксцесса имеет положительный знак, а у плосковершинных – отрицательный знак. Предельным значением отрицательного эксцесса является значение Е_х = – 2; величина положительного эксцесса является величиной бесконечной. В нормальном распределении и поэтому .