3.4.5. Достаточные признаки сходимости числового ряда.

3.4.5.1 Признаки сравнения рядов.

При применении данного признака исследуемый ряд сравнивают с так называемым эталонным рядом, для которого заранее известно, сходится он или расходится. Как правило такими рядами являются гармонический ряд или обобщенный гармонический ряд.

Теорема 1. Пусть даны два знакоположительных ряда

Если для всех n выполняется неравенство , то из сходимости (2) следует сходимость (1), а из расходимости (1) – расходимость (2).

Пример

Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии , который сходится при . Имеем Следовательно исходный ряд сходится.

Пример

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Найдем похожий обобщенный гармонический ряд . Из теории известно, что он сходится. Теперь нужно показать, что для всех значений n=1, 2, 3, …справедливо неравенство

Если n=1, то

Если n=2, то

Если n=3, то

Если n=4, то

И так далее.

Значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом Почему же ряд сходится и в чем смысл признака сравнения? Дело вот в чем. Если ряд сходится, то он имеет некоторую конечную сумму S: . И поскольку все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , то сумма ряда не может быть больше числа S, и тем более, не может равняться бесконечности.

Обратите внимание, что в знаменателе находятся «плюсы». Наличие хотя бы одного минуса может серьёзно осложнить использование рассматриваемого признака сравнения. В этом случае проще использовать предельный признак сравнения.

Теорема 2. (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда:

Если существует конечный, отличный от 0, предел отношения общих членов этих рядов , то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Предельный признак сравнения применяется тогда, когда общий член ряда представлен в виде многочлена. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числителе и в знаменателе. Один или оба многочлена также могут находиться под корнем.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд

Решение.

С

бмф

равним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения. Если , то будет доказано, что ряд – тоже сходится.

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Замечание: При использовании предельного признака сравнения, не имеет значения, в каком порядке составлено отношение общих членов.

3.4.5.2 Признак Даламбера.

В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.

Основными предпосылками для применения признака Даламбера является наличие в формуле общего члена ряда показательной функции или(и) факториала.

Теорема. Пусть дан знакоположительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:

а) при ряд сходится.

б) при ряд расходится.

Замечания.

1. В частности, ряд сходится при .

2. В частности, ряд расходится при .

3. При признак не дает ответа. Ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Нужно использовать другой признак.

Пример

Исследовать на сходимость ряд

Решение

Находим D:

Так как D<1, то данный ряд по признаку Даламбера сходится.

Пример

Исследовать на сходимость ряд

Решение

В знаменателе общего члена ряда у нас есть степень , а это верная предпосылка того, что нужно использовать признак Даламбера.

Используем признак Даламбера:

Для того, чтобы получить следующий член ряда необходимо вместо n подставить n+1:

Составим отношение следующего члена ряда к предыдущему:

Найдем предел полученного отношения:

Таким образом, исследуемый ряд сходится.