Тема 4. Основні поняття теорії ймовірностей. Повторні незалежні випробування. Формула Бернулі. Зразок виконання індивідуального завдання 4

Задача 4.1. Ймовірність виготовлення стандартної деталі на автоматичному верстаті дорівнює 0,7. Знайти ймовірності виготовлення бракованих деталей на цьому верстаті, якщо для контролю відібрано 4 деталі.

Розв’язування. Ймовірність виготовлення бракованої деталі дорівнює

Використовуючи тепер формулу Бернулі, знайдемо:

.

Задача 4.2. На аукціонах продають в середньому 15% пакетів акцій за початковою ціною. Яка ймовірність того, що серед 6 пакетів акцій в результаті торгів за початковою ціною буде продано:

а) 2 пакети акцій;

б) не більше 2 пакетів акцій;

в) не менше 3 пакетів акцій?

Знайти найймовірніше число пакетів акцій, що продаються на аукціоні.

Розв’язування. Ймовірність продажу одного пакету акцій дорівнює . Звідси .

а) Ймовірність продажу 2 пакетів акцій знайдемо за формулою Бернулі:

б)

в)

Найймовірніше число пакетів акцій, що продаються на аукціоні, знайдемо з нерівностей

Маємо

Звідси

,

Тобто .

Ймовірність цієї події

.

Задача 4.3. Скільки разів треба підкинути гральну кістку, щоб найймовірніше число випадань одиниці дорівнювало 12?

Розв’язування. Ймовірність появи одиниці у одному підкиданні дорівнює : . Згідно з (4.2)

,

або . Звідси , тобто необхідно підкинути кістку від 71 до 77 разів.

Задача 4.4. Перевірки податкової інспекції показали, що кожне друге мале підприємство порушує фінансову дисципліну. 1) Знайти ймовірність того, що серед 800 малих підприємств району порушили фінансову дисципліну: а) 380 підприємств; б) не менше 380 підприємств; в) від 380 до 420 підприємств. 2) Яке найймовірніше число малих підприємств, що порушили фінансову дисципліну?

Розв’язування. 1. а) За умовою . Число малих підприємств достатньо велике , крім того , тому застосуємо локальну формулу Муавра – Лапласа. Для цього знайдемо

За формулою (4.3) знайдемо:

.

1. б) Щоб знайти , використаємо інтегральну формулу Муавра – Лапласа

,

Маємо

1. в) Ймовірність також можна знайти за формулою Муавра – Лапласа, враховуючи те, що границі інтервалу (380; 420) симетричні відносно значення :

2) Тепер знайдемо найймовірніше число малих підприємств, що порушили фінансову дисципліну. Маємо: , тобто . Звідси . Ймовірність цієї події, з-за того, що , дорівнює

.

Задача 4.5. Страхова компанія має 12 тисяч клієнтів. Страховий внесок кожного клієнта дорівнює 500 грн. У страховому випадку, ймовірність якого за оцінками експертів дорівнює 0,005, страхова компанія повинна виплатити клієнту 50 тис. грн. На який прибуток може розраховувати страхова компанія з надійністю 0,95?

Розв’язування. Розмір прибутку компанії дорівнює різниці між сумарним внеском всіх клієнтів і сумарною страховою сумою, яку виплачують клієнтам у разі страхового випадку, тобто

грн.

Щоб визначити число клієнтів яким потрібно виплатити страховий внесок, застосуємо інтегральну формулу Муавра – Лапласа (бо умова виконується).

За умовою задачі

де - число клієнтів, яким буде виплачено страхову суму;

,

,

звідки