Тема 3. Основні поняття теорії ймовірностей. Формула повної ймовірності. Формула Байєса. Зразок виконання індивідуального завдання 3

Задача 3.1. Маємо три урни. В першій урні є 3 білі і 2 чорні кульки, у другій – 2 білі і 4 чорні, в третій 4 білі і 3 чорні. Дехто вибирає навмання будь-яку урну і виймає одну кульку. Знайти ймовірність того, що ця кулька біла.

Розв’язування. Розглянемо три гіпотези:

- вибір першої урни;

- вибір другої урни;

- вибір третьої урни

і подію

- поява білої кульки.

Тоді

,

де подія - вибрано першу урну і з неї взято білу кульку, подія - вибрано другу урну і з неї взято білу кульку, подія - вибрано третю урну і з неї взято білу кульку. З умови несумісності подій , і отримаємо:

З-за того, що гіпотези рівноможливі (з умов задачі), маємо:

.

Умовні ймовірності події для цих гіпотез відповідно такі:

, , .

Таким чином:

.

Задача 3.2. Два стрільці незалежно один від одного виконали по одному пострілу у мішень. Ймовірність влучення у мішень першим стрільцем дорівнює 0,7; другим – 0,6. Після стрільби у мішені виявлено одну пробоїну. Знайти ймовірність того, що поцілив у мішень перший стрілець.

Розв’язування. Спочатку розглянемо можливі результаті стрільби кожним стрільцем:

- перший стрілець поцілив у мішень;

- перший стрілець не поцілив у мішень;

- другий стрілець поцілив у мішень;

- другий стрілець не поцілив у мішень.

До проведення стрільби можливі такі гіпотези:

- обидва стрільці не поцілили у мішень;

- перший стрілець поцілив, другий не поцілив у мішень;

- перший стрілець не поцілив, другий – поцілив у мішень;

- обидва стрільці поцілили у мішень.

Ймовірність цих подій:

,

,

,

.

Умовні ймовірності події після проведених пострілів для розглянутих гіпотез такі:

, , , .

Після проведених пострілів гіпотези і неможливі, а ймовірності гіпотез і будуть такими:

, .

Таким чином, ймовірність того, що пробоїна належить першому стрільцю дорівнює .

Задача 3.3. У магазин для продажу надійшли телевізори від трьох постачальників у кількостях 100, 400, і 500 штук. Відомо, що телевізори, які надходять від першого, другого і третього постачальників, не потребують ремонту протягом гарантійного строку відповідно у 96%, 94% і 98% випадків.

а) Знайти ймовірність того, що телевізор, який надійшов до магазину, не потребує ремонту протягом гарантійного строку.

б) Проданий телевізор потребує ремонту протягом гарантійного строку. Від якого постачальника наймовірніше надійшов телевізор?

Розглянемо подію

- телевізор не потребує ремонту протягом гарантійного строку.

Введемо гіпотези:

- телевізор надійшов від першого постачальника,

- телевізор надійшов від другого постачальника,

- телевізор надійшов від третього постачальника.

З умови задачі маємо:

, ,

, ,

,

За формулою повної ймовірності:

.

2) Подія - телевізор потребує ремонту протягом гарантійного строку. Тоді

.

Крім того,

,

Звідси

, ,

Таким чином, наймовірніше, що телевізор, який потребує ремонту, надійшов від третього постачальника.