Тема 2. Основні поняття теорії ймовірностей. Правила додавання і множення ймовірностей. Зразок виконання індивідуального завдання 2

Задача 2.1. Продано 1000 білетів лотереї. На один білет випадає виграш у 500 грн., на 10 білетів – виграші у 100 грн., на 50 білетів – виграші у 20 грн., на 100 білетів – виграші у 5 грн., інші білети – невиграшні. Дехто купив один білет. Знайти ймовірність того, що він виграє не менше 20 грн.

Розв’язування. Розглянемо подію - виграти не менше 20 грн. Це означає, що виграти можна або 20 грн., або 100 грн., або 500 грн. Введемо події:

- виграти 20 грн.,

- виграти 100 грн.,

- виграти 500 грн.

Тоді подію можна представити у вигляді:

.

За теоремою про додавання ймовірностей:

Задача 2.2. Кругова мішень має три зони: І, ІІ, ІІІ. Ймовірність влучення у першу зону одним пострілом дорівнює 0,15; у другу – 0,23; у третю – 0,17. Знайти ймовірність промаху.

Розв’язування. Розглянемо події:

- промах,

- влучення у мішень.

Тоді

,

де , , - влучення відповідно у першу, другу і третю зони. Ці події несумісні – поява однієї з них виключає появу інших, бо виконується тільки один постріл.

За теоремою про додавання ймовірностей несумісних подій маємо

Подія протилежна події . Тому

Таким чином

.

Задача 2.3. В урні білих і чорних куль. З урни виймають дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.

Розв’язування. Цю задачу ми вже розв’язували іншим методом. Тепер розв’яжемо її за допомогою теореми для добутку ймовірностей.

Введемо такі події:

- перша куля біла,

- друга куля біла.

Тоді подія - взято дві білі кулі - можна представити як добуток двох подій і :

За теоремою про добуток ймовірностей

Ймовірність взяти першою білу кулю дорівнює

.

Тоді

.

Таким чином

.

Задача 2.4. Виконуються три постріли у одну і ту ж мішень. Ймовірність влучення у мішень першим пострілом дорівнює 0,4; другим – 0,5; третім – 0,7. Знайти ймовірність того, що в результаті трьох пострілів у мішені буде рівно одна пробоїна.

Розв’язування. Розглянемо подію - рівно одне влучення у мішень. Ця подія може здійснитись декількома способами, тобто вона розпадається на три несумісні варіанти: може бути влучення першим пострілом, промахи другим і третім; або влучення другим пострілом, промахи першим і третім; або влучення третім пострілом, промахи першим і другим.

Введемо події:

- влучення у мішень першим, другим і третім пострілом відповідно,

- промах першим, другим і третім пострілами.

Тоді

.

Застосовуючи тепер теореми про додавання і добуток ймовірностей і враховуючи, що

, ,

,

отримаємо

Задача 2.5. За умов попередньої задачі знайти ймовірність того, що у мішені буде хоча б одна пробоїна.

Розв’язування. Введемо подію - хоча б одне влучення у мішень. Ця подія означає, що у мішені може бути або одна пробоїна, або дві пробоїни, або три пробоїни. Тому подію представимо так:

Тепер, використовуючи теореми про додавання і добуток ймовірностей, можна знайти ймовірність події .

Але цю задачу простіше розв’язати, якщо перейти від прямої події до протилежної події :

- ні одного влучення.

Очевидно, що

.

За теоремою про добуток ймовірностей

Звідси

.

Задача 2.6. Монету підкидають 8 разів. Знайти ймовірність того, що герб випаде більше разів, ніж цифра.

Розв’язування. Розглянемо такі можливі наслідки підкидань монети:

- герб випаде більше разів, ніж цифра;

- герб випаде менше разів, ніж цифра;

- герб і цифра випадуть однакове число разів.

Події , і несумісні і утворюють повну групу. Тому

.

З-за того, що задача симетрична відносно «герба» і «цифри», маємо

Звідси

.

Ймовірність події , яка полягає в тому, що у 8 підкиданнях монети герб з’явиться рівно 4 рази, знайдемо за формулою

,

де - число сприятливих випадків, - число всіх можливих випадків. Для нашої задачі , а .

Таким чином .

Звідси

.