Загальні вказівки

Студенти напряму підготовки “Економіка підприємства” факультету економіки, менеджменту та права вивчають дисципліну “Математика для економістів ” протягом першого року навчання, три триместри.

Методичні рекомендації та завдання, частина ІІІ, містять такі розділи:

- основні поняття теорії ймовірностей;

- дискретні випадкові величини, їх закони розподілу та числові характеристики

- неперервні випадкові величини. Функція та щільність розподілу ймовірностей. Числові характеристики.

- основні поняття математичної статистики. Методи параметричної та непараметричної оцінки параметрів

Кожне індивідуальне завдання супроводжується розв’язуванням типових прикладів, що дасть змогу студентам краще засвоїти відповідний теоретичний матеріал і набути навичок для самостійного виконання роботи.

Студент отримує завдання згідно з порядковим номером його за списком, або за вказівкою викладача. Виконану в окремому зошиті роботу студент повинен захистити у викладача, що проводить практичні заняття.

Тема 1 Основні поняття теорії ймовірностей. Безпосередній підрахунок ймовірностей Зразок виконання індивідуального завдання 1

Задача 1.1. Чи утворюють повну групу такі події:

а) Дослід – підкидання монети. Події:

- поява герба;

- поява цифри.

Відповідь: Ці події утворюють повну групу, бо одна з них обов’язково відбудеться.

б) Дослід – підкидання двох монет. Події:

- поява двох гербів,

- поява двох цифр.

Відповідь: Події і не утворюють повну групу, бо можливі ще такі події: поява герба на першій монеті і цифри на другій, і навпаки.

Задача 1.2. Сумісні чи несумісні такі події:

а) Дослід – підкидання монети. Події:

- поява герба;

- поява цифри.

Відповідь: Події і несумісні, бо поява однієї з них виключає появу іншої.

б) Дослід – підкидання двох монет. Події:

- поява герба на першій монеті,

- поява цифри на другій монеті.

Відповідь: Ці події сумісні, бо поява події не виключає появу

події .

Задача 1.3.Чи рівноможливі події:

а) Дослід – підкидання симетричної монети. Події:

- поява герба;

- поява цифри.

Відповідь: Події і рівноможливі, оскільки з умов симетрії досліду ми не можемо вважати будь-яку з цих подій більш можливою, ніж іншу.

б) Дослід – підкидання гральної кістки. Події:

- поява парного числа очок,

- поява непарного числа очок.

Відповідь: Події і рівноможливі, оскільки поява парного числа очок (2, 4, 6) не має більшої можливості, ніж поява непарного числа очок (1, 3, 5).

Задача 1.4. Чи є випадками такі групи подій:

а) Дослід – підкидання монети. Події:

- поява герба;

- поява цифри.

Відповідь: Події і утворюють повну групу, вони несумісні і рівноможливі, тому вони є випадками.

б) Дослід – підкидання гральної кістки. Події:

- поява не більше двох очок,

- поява трьох або чотирьох очок,

- поява не менше п’яти очок.

Відповідь: Ці події є випадками, бо вони утворюють повну групу (поява 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок), несумісні (поява будь-якого числа очок виключає появу іншого числа очок) і рівноможливі (симетрія досліду).

Задача 1.5. В урні знаходяться білих і чорних куль. З урни беруть одну кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля – біла.

Розв’язування. Розглянемо подію - з урни взято білу кулю. Цій події сприяють випадків, бо можна взяти будь-яку білу кулю. Тому . Загальне ж число випадків взяти кулю дорівнює числу куль, що знаходяться в урні, тобто . Тому

.

Задача 1.6. В урні знаходяться білих і чорних куль . З урни беруть одночасно дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.

Розв’язування. Загальне число випадків – взято 2 кулі з куль – дорівнює числу сполучень з по 2

Число випадків, які сприяють появі події – взято дві білі кулі – дорівнює числу сполучень з по 2, бо ми можемо взяти 2 білі кулі тільки з білих куль:

Ймовірність події - дві білі кулі – дорівнює

.

Задача 1.7. В урні знаходяться білих і чорних куль . З урни беруть одночасно дві кулі. Знайти ймовірність таких подій:

- кулі одного кольору;

- кулі різного кольору.

Розв’язування. Загальне число випадків – взято дві кулі з куль – нам уже відомо:

Число випадків – взято дві кулі одного кольору – дорівнює сумі сполучень і :

.

Тому .

Число випадків, які сприяють події , дорівнює добутку і . Звідси .

Задача 1.8. Одночасно підкидають дві гральні кістки. Знайти ймовірність таких подій:

- сума очок, які випали на обох кістках, дорівнює 8;

- добуток очок, які випали на обох кістках, дорівнює 8;

- сума очок більша, ніж їх добуток.

Розв’язування. Загальне число випадків одночасного випадання очок на обох кістках дорівнює:

Події сприяють такі випадки: 2+6; 3+5; 4+4; 5+3; 6+2; цих випадків п’ять. Тому

Події сприяють два випадки: , .

Події сприяють випадки: , , , , , , , , , , . Таких випадків 11. Тому

.

Задача 1.9. Учасник лотереї повинен вгадати 6 чисел з 45. Повний виграш отримає той, хто правильно вгадає всі шість чисел. Виграші отримують і ті, хто вгадає не менше чотирьох чисел. Знайти ймовірності того, що будуть вгадані: а) всі шість чисел; б) чотири числа.

Розв’язування. а) Розглянемо подію - учасник вгадав всі 6 чисел з 45. Загальне число випадків заповнення карточок лотереї дорівнює: . Число випадків, які сприяють появі події , тільки одне: .

Тому

б) Введемо подію - учасник вгадав 4 числа з 6 виграшних із 45. Число способів, якими можна вибрати 4 з 6 чисел, є: . Крім того, до кожної комбінації з 4 вгаданих чисел з 6 потрібно долучити комбінацію з 2 невиграшних чисел з 45-6=39. Таких комбінацій . Тому . Таким чином:

.