Решение

1. Так как угловая скорость вращающегося тела связана с частотой вращения n равенством

,

то в формуле Виллиса в силу пропорциональности и , угловая скорость может быть заменена на частоту вращения.

2. Ось спаренных зубчатых колес 2 и 3 вращается с угловой скоростью водила, жестко связанного с ведущим валом I .

3. Дадим всем элементам механизма дополнительное вращение с угловой скоростью, равной по величине, но противоположной по направлению угловой скорости водила. Тогда водило, а, следовательно, и подвижная ось остановятся. Мы получим механизм с неподвижными осями вращения. Все колеса этого механизма будут вращаться с относительными угловыми скоростями по отношению к водилу. Частотам вращения приписывается знак «плюс», если направление вращения совпадает с направлением вращения водила и знак «минус», если имеет противоположное направление. Составим следующую таблицу.

Номер вала или колеса	Частота вращения в абсолютном движении	Частота вращения в относительном движении	Радиус колеса
	= 900	0	–
1
2
3
4 , II

4. Для определения частоты вращения ведомого вала найдем передаточное отношение от колеса 1 к колесу 4 в зубчатых передачах с неподвижными осями

,

где

; , .

Откуда

или

Тогда

об/мин.

5. Определим частоту вращения в относительном движении спаренных колес из соотношения

.

Откуда

об/мин.

Знак минус означает, что соответствующее вращение происходит в противоположную вращению вала I сторону.

6. Определим скорости точки В колеса 3 в ее сложном движении

;

где

м/с; м/с.

Так как переносное и относительное вращения происходят в разных направлениях, то скорости и направлены в противоположные стороны по одной прямой. Следовательно

м/с.

7. В соответствии с полученными направлениями вращений, мгновенная ось вращения спаренных колес расположена между точкой В и осью спаренных колес на расстоянии равном

см.

2.6. Сферическое движение твердого тела. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей

Сферическим называется движение твердого тела, при котором одна из точек тела (или жестко связанная с ним точка) во все время движения остается неподвижной. При сферическом движении твердого тела в каждый момент движения существует прямая, жестко связанная с телом (мгновенная ось вращения), скорости точек которой равны нулю.

Теорема. Скорость любой точки тела при его сферическом движении находится как вращательная вокруг мгновенной оси вращения:

,

где  угловая скорость тела,  радиус-вектор соответствующей точки, проведенный из неподвижной точки, жестко связанной с телом.

Сферическое движение твердого тела может быть получено как результат сложения вращений вокруг пересекающихся осей. В этом случае угловая скорость тела находится по формуле

,

где – угловые скорости составляющих вращений.

Теорема. Ускорение любой точки твердого тела при его сферическом движении равно геометрической сумме вращательного и осестремительного ускорений

,

, ,

где – угловое ускорение тела при сферическом движении, определяемое как скорость конца переменного по модулю и направлению вектора ( ).

Рис. 2.44

Пример 2.9. Прямой круговой конус с высотой и углом 2α при вершине катится без скольжения по горизонтальной неподвижной плоскости. Ось симметрии конуса вращается равномерно вокруг вертикальной оси с угловой скоростью . Определить модули скоростей и ускорений точек и , расположенных на концах взаимно перпендикулярных диаметров в основании конуса так, что отрезок горизонтален.