Решение

Р ассмотрим случай, когда плита неподвижна (v₂ = 0, u₂ = 0).

1. На шарик действует импульс ударной нормальной реакции , направленный вертикально вверх (рис. 3.46 а). Импульсом силы тяжести пренебрегаем (неударная сила).

2. Запишем основное уравнение теории удара (3.2) в проекциях на нормаль, направленную вверх, и касательную

; . (3.4)

3. Коэффициент восстановления согласно формуле (3.1) определяется отношением

.

4. Из этих уравнений получаем

.

Рассмотрим второй случай: плита движется поступательно до и после удара (рис. 3.46 б).

1. На плиту действует импульс ударного давления , направленный вертикально вниз.

2. Составим основное уравнение теории удара (3.2) для плиты

в проекциях на оси  и n

, . (3.5)

3. Коэффициент восстановления согласно формуле (3.1) определяется отношением

. (3.6)

4. Из уравнений (3.4) – (3.6) определяем u_1n, u_2, u_2n и S:

(3.7)

Подставив числовые данные, находим u_1n = 1,13 м/с, u_2n = –0,13 м/с, S = 31,3 Н·с.

В случае, когда масса плиты значительно больше массы шарика, т.e. M >> т, из формул (3.7) следует (если разделить числитель и знаменатель на М и пренебречь отношением ):

Удар не будет влиять на скорость движения плиты, т.е.

Скорость отскока шарика u_1n и импульс ударной силы в этом случае можно найти из следующих двух уравнений, составленных для шарика:

,

Откуда

Пример 3.13. Однородный стержень массой m длиной l может вращаться вокруг горизонтальной неподвижной оси, проходящей через его конец. Стержень находится в покое в вертикальном положении. Какой величины ударный импульс нужно приложить к нижнему концу стержню, перпендикулярно ему, чтобы он отклонился от начального положения на заданный угол α? Найти импульс ударной реакции шарнира. Определить также, как должен быть приложен ударный импульс, чтобы импульс ударной реакции был равен нулю? Принять m = 10 кг, l = 1,2 м, α = 60. Сопротивлением движению стержня пренебречь.

Решение

1 . Для определения искомых величин рассмотрим два этапа: удар по неподвижному стержню и движение стержня после завершения удара (рис. 3.47).

2. На стержень кроме заданного импульса во время удара действует еще ударная реакция подшипника в точке O, импульс которой имеет две составляющие , .

3. По теореме об изменении кинетического момента при ударе (последнего уравнения системы (3.3)) определяется угловая скорость _ после удара

, (3.8)

где , .

4. По теореме об изменении кинетической энергии, записанной для второго этапа, можно определить зависимость угла поворота от начальной угловой скорости _.

.

Кинетическая энергия после отклонения стержня на заданный угол принимает нулевое значение. Кинетическая энергия стержня, совершающего вращательное движение определяется равенством . Из внешних сил работу совершает только сила тяжести , точка приложения которой перемещается на высоту То есть

.

Тогда

, (3.9)

5. Из уравнений (3.8), (3.9), исключив , найдем зависимость приложенного импульса от угла поворота стержня:

.

6. Для определения составляющих , импульса ударной реакции воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы при ударе

. (3.10)

Количество движения стержня до удара . Количество движения стержня после удара , при этом .

Записывая уравнение (3.10) в проекциях на оси координат

, .

или

,

и подставляя выражение для _ из равенства (3.8), находим

7. Найдем, как должен быть приложен ударный импульс, чтобы в шарнире отсутствовали ударные реакции. Из определения центра удара следует, что расстояние от оси вращения точки приложения ударного импульса определяется равенством

.

Ударный импульс должен быть приложен перпендикулярно стержню.