2.4. Плоское движение твердого тела
Плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела − это движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Исследование плоского движения сводится к рассмотрению движения плоской фигуры в ее плоскости.
Теорема. Скорость любой точки фигуры при плоском движении находится как сумма скорости полюса и скорости данной точки во вращательном движении вокруг полюса:
,
,
где
− угловая скорость плоской фигуры.
Следствие. Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на направление вектора, соединяющего эти точки, равны между собой:
.
При непоступательном движении плоской фигуры существует жестко связанная с ней точка, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Эта точка является мгновенным центром скоростей.
Скорости
точек тела при плоском движении
пропорциональны расстояниям до
мгновенного центра скоростей
.
Угловая скорость тела в его плоском движении определяется отношением скорости произвольно выбранной точки к расстоянию от нее до мгновенного центра скоростей
.
Аналитический
способ определения скоростей точек
плоской фигуры основан на векторном
представлении теоремы. Вводя в рассмотрение
вектор угловой скорости
при плоском движении (
– единичный вектор оси
,
перпендикулярной плоскости движения
фигуры), теорема может быть записана в
виде:
.
Проецируя на координатные оси, находим
Эти
уравнения могут быть использованы для
определения неизвестных величин. Если
направление скорости точки
известно, то, совмещая одну из осей
координат с вектором
,
находим эту скорость, а также
.
Если известно положение мгновенного
центра скоростей, то предварительно
находится
,
для чего используется одного из равенств
системы. При этом алгебраическая угловая
скорость
положительна, если вращение видно
происходящим против хода часовой
стрелки.
Теорема. Ускорение точки плоской фигуры равно сумме ускорения полюса и ускорения данной точки во вращательном движении вокруг полюса
или
.
При
плоском движении с учетом характера
движения осестремительное ускорение
называется центростремительным и
обозначается символом
.
Следствие. Проекции ускорений двух точек плоской фигуры на направление вектора, соединяющего эти точки, связаны равенством
.
Другим следствием теоремы об ускорениях точек при плоском движении твердого тела является равенство:
.
Вводя
в рассмотрение вектор углового ускорения
при плоском движении, теорема может
быть записана в виде:
или
.
Проецируя на координатные оси, находим
(2.1)
Эти уравнения могут быть использованы для определения неизвестных величин. При этом возможны два случая:
а)
Если направление ускорения точки
известно (или известны направления его
составляющих), то из системы уравнений
(2.1) находится ускорение этой точки, а
также
.
При этом если знак
совпадает с
,
то вращение плоской фигуры ускоренное.
б) Если расстояние от какой-либо точки (например, точки A) плоской фигуры до мгновенного центра скоростей постоянно, то используется другой алгоритм решения. Сначала определяются скорость и ускорение точки A и эта точка принимается за полюс. Далее находится угловое ускорение по формуле
или
.
Затем из равенств (2.1) получаем проекции вектора ускорения произвольной точки плоской фигуры на оси координат.
Пример
2.6. Кривошип 1 шарнирного
четырехзвенника вращается с постоянной
угловой скоростью
(рис. 2.20 а). Определить угловые скорость
и ускорение стержня 2, а также
ускорение точки
в положении, указанном на рисунке, если
.