Решение

1. Колесо вращается равноускоренно, т.е. его угловое ускорение ε постоянно. При этом угловая скорость и угол поворота колеса изменяются по законам:

, ,

где , т.к. движение начинается из состояния покоя.

Подставляя рад/с и с, находим

рад/с² , рад,

причем , где N – число оборотов колеса. Тогда оборотов.

2. Скорость точки на ободе колеса определяется по формуле и равна м/с.

3. Ускорение точки на ободе колеса находится как сумма касательного и нормального ускорений: . Значения касательного и нормального ускорений соответственно равны: . Модуль ускорения точки равен

Подставляя числовые значения, находим:

a_τ = 0,628 м/с², a_n = 47,4 м/с², a = 47,4 м/с².

Векторы скорости и касательного ускорения направлены по касательной к ободу колеса в сторону движения, вектор нормального ускорения направлен к оси вращения колеса.

Пример 2.4. Два зубчатых колеса радиусами r₁ и r₂ соответственно находятся во внешнем зацеплении. Первое колесо имеет в данный момент угловую скорость ω₁ и угловое ускорение ε₁, вращаясь ускоренно. Найти угловую скорость и угловое ускорение второго колеса, а также касательные и нормальные ускорения находящихся в соприкосновении точек колес.

Решение

1. Скорость точек соприкосновения колес, находящихся в зацеплении, равна

,

откуда

в любой момент времени.

2. Найдем угловое ускорение второго колеса:

Отсюда следует, что угловые ускорения колес связаны такой же зависимостью, как и угловые скорости, а касательные ускорения точек соприкосновения колес равны между собой:

Н ормальные ускорения точки первого колеса в месте соприкосновения со вторым колесом, а также точки второго колеса в месте соприкосновения с первым определяются формулами

.

Направления векторов , , , показаны на рисунке 2.3.

2.3. Сложное движение точки

Сложным называется движение точки (или тела), которое рассматривается одновременно в разных системах отсчета.

Теорема о сложении скоростей. При сложном движении точки абсолютная скорость равна сумме ее относительной и переносной скоростей:

.

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса). При непоступательном переносном движении абсолютное ускорение точки находится как сумма трех ускорений: относительного, переносного и ускорения Кориолиса

, ,

где − угловая скорость переносного вращения.

Пример 2.5. Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через точку, лежащую на его ободе, по закону рад. Относительно диска по хорде, перпендикулярной диаметру, проведенному от оси вращения, из ее середины движется точка M. Закон движения точки  см, при этом ось Ox направлена в сторону положительного направления отсчета угла φ. Определить абсолютные скорость и ускорение точки в момент времени t₁ = 7 с, если расстояние от оси вращения до хорды равно 45 см.

Решение

1. Точка М совершает сложное движение: движется по диску (относительное движение) и вместе с диском (переносное движение).

2. Определим положение точки на хорде в указанный момент времени

и изобразим ее в заданный момент времени (рис. 2.8).

3. По заданному закону относительного движения определим относительные скорость и ускорение точки M

, .

В момент времени t₁:

, .

Изобразим векторы и по их проекциям (рис. 2.8).

4. По заданному закону переносного движения и найденному положению точки M определим ее переносные скорость и ускорение. Угловые скорость и ускорение диска определяются равенствами

, .

Тогда

.

В заданный момент времени:

, .

Знак «минус» у величины означает, что диск вращается в сторону, противоположную указанному на рисунке положительному направлению отсчета угла . Так как и , то вращение замедленное. С учетом установленного характера движения диска изобразим векторы , и (рис. 2.8).

5. Определим ускорение Кориолиса

.

Для определения направления ускорения Кориолиса можно воспользоваться правилом Жуковского, поворачивая вектор относительной скорости в сторону вращения на 90° (рис. 2.8).

6. Определим абсолютные скорость и ускорение точки M.

По теореме косинусов:

= 52,3 см/с,

здесь .

Ускорение находится по его проекциям на оси координат

= 99,6 см/с²,

= 43,6 см/с²,

= 109 см/с².