Р ешение

1. Рассмотрим равновесие цилиндра, мысленно освобождая его от связи – шероховатой плоскости.

2. Изобразим силу тяжести и реакции связи (рис. 1.38).

3. Используя условия равновесия цилиндра в форме

, , ,

имеем

, ,

, ,

, .

Откуда

, , .

4. Запишем неравенства, которым удовлетворяют сила трения и момент сопротивления качению при равновесии

и .

Откуда

и .

Цилиндр будет покоиться на шероховатой плоскости, если угол  удовлетворяет этим неравенствам.

1.4. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду

Основная теорема статики. Произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы и пары сил. Сила равна главному вектору системы сил и приложена в произвольно выбранной точке тела (центре приведения), момент пары равен главному моменту системы сил относительно этой точки.

Главный вектор системы сил :

определяется своими проекциями на оси координат:

, , ,

.

Главный момент системы сил относительно центра O:

определяется своими проекциями на оси координат:

, , ,

.

Возможны следующие случаи приведения системы сил к центру:

1. , .

Система сил приводится к равнодействующей. Линия действия равнодействующей проходит через центр приведения.

2. , .

Система сил приводится к паре сил.

3. , , − система сил имеет равнодействующую, которая не проходит через центр приведения. Ее линия действия определяется уравнениями

4. , , − система сил приводится к динамическому винту (силе и паре, лежащей в плоскости, перпендикулярной силе).

Момент пары сил динамического винта

.

Ось динамического винта определяется уравнениями

.

5. , − уравновешенная система сил.

П ример 1.6. Привести систему сил, приложенных к кубу с ребром a = 2 м (рис. 1.42), к простейшему виду, если F₁ = 5 Н, F₂ = 15 Н, F₃  = 10 Н, F₄ = 3 Н.

Решение

1. За центр приведения выберем начало координат – точку O.

2. Найдем проекции главного вектора на оси координат:

,

,

.

Откуда

 Н,  Н,  Н,

 Н.

3. Вычислим проекции главного момента относительно точки О на оси координат:

,

,

.

Откуда

 Н·м,  Н·м,  Н·м,

 Н·м.

4. Найдем величину скалярного произведения главного вектора и главного момента

.

Так как , то система сил приводится к правому динамическому винту. Вектор момента пары динамического винта и главный вектор совпадают по направлению.

5. Уравнения оси динамического винта имеет вид:

или с учетом найденных значений:

или

.

Положение оси динамического винта можно определить точками A и B ее пересечения с координатными плоскостями Oxy и Oyz, соответственно. При этом

–1,7 м, –0,203 м, ; , 1,06 м, 1,99 м.

6. Определим момент пары сил динамического винта

Н·м.

1.5. Центр тяжести

Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести частиц данного тела. Его положение определяется равенством

,

или

Для определения положения центра тяжести однородных тел используют метод симметрии, метод разбиения на тела простой формы с известным положением центров тяжести, а также метод отрицательных масс (линий, площадей, объемов).

П ример 1.7. Определить координаты центра тяжести плоской фермы (рис. 1.48), составленной из однородных стержней с одинаковым погонным весом.