4.4. Малые колебания системы с двумя степенями свободы

Для составления дифференциальных уравнений малых колебаний консервативной механической системы с двумя степенями свободы около устойчивого положения равновесия можно воспользоваться уравнениями Лагранжа второго рода в следующей форме

где , – кинетическая и потенциальная энергии системы.

Отсчитывая обобщенные координаты от устойчивого положения равновесия, кинетическую и потенциальную энергии системы в случае малых колебаний можно представить в виде квадратичных форм

,

где – обобщенные коэффициенты инерции и – обобщенные коэффициенты жесткости.

Положение равновесия механической системы устойчиво, если потенциальная энергия в этом положении имеет минимум. Это реализуется при выполнении условий

.

Тогда малые колебания консервативной механической системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия описываются системой двух однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

Общее решение этой системы уравнений записывается в виде:

,

,

где циклические частоты и соответствующих главных колебаний системы определяются из уравнения частот

.

Амплитуды главных колебаний связаны при этом отношениями:

,

Коэффициенты , называются коэффициентами формы главных колебаний.

Общее решение принимает вид:

,

.

В этом решении циклические частоты колебаний , и коэффициенты формы , – постоянные, определяемые инерционными характеристиками системы и потенциальными силами, действующими на эту систему, , , – постоянные, определяемые из начальных условий.

Пример 4.8. Два груза массами кг подвешены на двух одинаковых последовательно соединенных пружинах с коэффициентами жесткости  кН/м так, что один из грузов помешен в точке соединения пружин, а другой присоединен к концу нижней пружины. Записать дифференциальные уравнения малых колебаний системы грузов. Найти циклические частоты колебаний системы и коэффициенты формы. Изобразить формы главных колебаний. Силами сопротивления и массами пружин пренебречь.

Р ешение

1. Механическая система, состоящая из двух грузов и двух пружин, имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выбираем смещения грузов вниз из положений равновесия – точек и (рис. 4.30), в которых пружины длинами l₁ и l₂ имеют статические деформации , . То есть .

2. Найдем обобщенные коэффициенты инерции. Кинетическая энергия системы определяется соотношением

.

Откуда с учетом общего представления кинетической энергии в случае малых колебаний системы с двумя степенями свободы находим обобщенные коэффициенты инерции

, , .

3. Определим обобщенные коэффициенты жесткости. Предварительно найдем потенциальную энергию системы как сумму работ сил тяжести грузов и сил упругости пружин при перемещении грузов из произвольного положения в положение равновесия (в точки и ):

,

где , – деформации пружин в произвольном положении системы (рис. 4.30).

Находим выражение потенциальной энергии системы, группируя члены, содержащие ,

.

В положении равновесия потенциальная энергия имеет минимум, т.е.

, .

Тогда

.

Откуда с учетом общего представления потенциальной энергии в случае малых колебаний системы с двумя степенями свободы находим обобщенные коэффициенты жесткости

.

Обобщенные коэффициенты жесткости могут быть найдены непосредственно путем вычисления соответствующих частных производных от потенциальной энергии:

, , .

4. Воспользуемся общим видом системы дифференциальных уравнений малых колебаний

С учетом найденных выражений для обобщенных коэффициентов инерции и жесткости имеем

5. Воспользуемся общим видом уравнения частот

,

которое с учетом найденных обобщенных коэффициентов инерции и жесткости, а также заданных значений масс и коэффициентов жесткостей пружин имеет вид

.

Циклические частоты колебаний системы находятся из решения этого биквадратного уравнения. При заданных массах и коэффициентах жесткостей циклические частоты принимают значения

.

6. Определим коэффициенты формы, используя соответствующие общие формулы. С учетом найденных обобщенных коэффициентов инерции и жесткости, а также заданных значений масс и коэффициентов жесткостей пружин имеем

, .

Здесь , – безразмерные величины, т.к. обобщенные координаты , имеют одинаковую размерность.

7 . Изобразим формы главных колебаний (рис. 4.31). При этом учитываем, что координаты в главных колебаниях связаны соотношением

,

где полагаем при изображении первого (рис. 4.31 а) и – второго главного колебания (рис. 4.31 б), соответственно.

Задача 4.46. Материальная точка массой m лежит на гладкой горизонтальной плоскости и удерживается двумя взаимно перпендикулярными пружинами, расположенным в этой же плоскости. Определить частоты малых колебаний точки около положения равновесия, если коэффициенты жесткостей пружин равны c₁ и c₂.

Ответ: ; .