Решение

1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из цилиндра, блока и груза, связанных нитью.

2. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем координату , определяющую положение груза на неподвижной плоскости, и координату , определяющую положение центра масс цилиндра в неподвижной системе координат (рис. 4.15 б).

3. Изобразим на рисунке активные силы , а также реакцию неидеальной связи (сила трения шероховатой плоскости), которую будем относить к активным силам.

4. Для получения дифференциальных уравнений движения механической системы составим уравнения Лагранжа второго рода

5. Для определения обобщенной силы сообщим системе виртуальное перемещение При этом центр масс цилиндра неподвижен, а груз смещается вправо на расстояние .

Определяя элементарную работу активных сил на этом виртуальном перемещении

,

находим

.

Для определения обобщенной силы сообщим системе виртальное перемещение При этом груз и блок неподвижны, а центр масс цилиндра получает виртуальное перемещение , направленное вертикально вниз.

Определяя элементарную работу активных сил на этом виртуальном перемещении

,

находим

.

6. Найдем кинетическую энергию системы как сумму

,

где – кинетические энергии груза, цилиндра и блока.

Так как груз движется поступательно со скоростью , то

.

Так как блок совершает вращательное движение с угловой скоростью , а момент инерции блока, масса которого равномерно распределена по ободу, равен , то

.

Цилиндр совершает плоское движение, и его кинетическая энергия определяется равенством

,

где – абсолютная скорость центра масс цилиндра, – угловая скорость цилиндра, – момент инерции однородного цилиндра радиуса относительно оси Сz. Так как – абсолютная координата центра масс цилиндра 2, то . Угловую скорость цилиндра в его плоском движении находим по скоростям точек С и К (рис. 4.15 б)

После подстановки в выражение для кинетической энергии цилиндра найденных соотношений получим

.

Кинетическая энергия механической системы записывается следующей функцией обобщенных скоростей

.

7. Найдем производные от кинетической энергии, входящие в уравнения Лагранжа (п. 4).

Частные производные по обобщенным скоростям

производные по времени

Так как обобщенные координаты и не входят явно в выражение кинетической энергии, то

.

8. Подставляя найденные производные от кинетической энергии и обобщенные силы в уравнения Лагранжа (п. 4), получим систему дифференциальных уравнений движения системы

Откуда с учетом значений масс тел m₁ = m и m₂ = m₃ = 2m

.

Для определения уравнения движения груза, интегрируем соответствующее дифференциальное уравнение

.

Из начальных условий , следует что и

Груз движется с постоянным ускорением согласно закону

.

Пример 4.5. По наклонной грани призмы 1 массой , образующей угол с горизонтом, скатывается без скольжения однородный цилиндр 2 массой (рис. 4.16 а). Призма перемещается по гладкой горизонтальной плоскости, деформируя горизонтальную пружину с коэффициентом жесткости с, соединяющую призму с вертикальной стеной. Составить дифференциальные уравнения движения системы.

а	б
Рис. 4.16