4.2. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа второго рода

Дифференциальные уравнения движения механических систем с идеальными связями могут быть составлены с применением общего уравнения динамики и уравнений Лагранжа второго рода.

Общее уравнение динамики. При движении механической системы с идеальными связями сумма работ всех активных сил и сил инерции на любом виртуальном перемещении системы в каждый фиксированный момент времени равна нулю:

.

Уравнения Лагранжа второго рода. При движении механической системы с идеальными и голономными связями разность производной по времени от частной производной от кинетической энергии по обобщенной скорости и частной производной от кинетической энергии по обобщенной координате равна обобщенной силе.

,

где s – число степеней свободы.

Обобщенная сила , соответствующая j-ой обобщенной координате, может быть определена отношением

,

где – работа активных сил, действующих на систему, на виртуальном перемещении системы, соответствующем изменению только j-ой обобщенной координаты

Если связи, наложенные на систему, неидеальные, то при составлении уравнений движения реакции неидеальных связей следует отнести к активным силам.

Для консервативной механической системы уравнения Лагранжа имеют вид

.

Здесь – потенциальная энергия механической системы.

Пример 4.3. Однородные цилиндры 1 и 2 (рис. 4.14 а) массами , и радиусами и соответственно обмотаны невесомой нерастяжимой нитью. Цилиндр 2 падает вниз под действием силы тяжести, приводя в движение цилиндр 1. Определить угловое ускорение цилиндра 1 и ускорение центра масс цилиндра 2.

а	б
Рис. 4.14

Решение

1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из двух цилиндров 1 и 2, связанных нитью.

2. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем угол поворота цилиндра 1 и относительную координату центра масс цилиндра 2 , отсчитываемую от произвольной точки А нити (рис. 4.14 б).

3. Связи, наложенные на данную механическую систему, идеальные. Изобразим на рисунке активные силы и .

4. Приложим к системе силы инерции. Цилиндр 1 совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр масс. Система сил инерции точек цилиндра приводится к паре сил с моментом

.

Цилиндр 2 совершает плоское движение. Выбирая за центр приведения центр масс цилиндра, систему сил инерции его точек заменяем силой , приложенной в центре масс, и парой сил с моментом  (рис. 4.14 б)

.

С учетом кинематических соотношений

, ,

имеем

,

5. Для определения углового ускорения цилиндра 1 и ускорения центра масс цилиндра 2 воспользуемся общим уравнением динамики

.

С учетом выбранных обобщенных координат сообщим системе два независимых перемещения: 1) и 2) .

Для первого виртуального перемещения системы с учетом действующих сил общее уравнение динамики записывается в виде

,

здесь виртуальные перемещения связаны следующими кинематическими соотношениями

.

При втором виртуальном перемещении системы общее уравнение динамики принимает вид

,

где с учетом наложенных на систему связей

.

Подставив в полученные уравнения найденные выражения для сил инерции и соотношения между виртуальными перемещениями, получим систему дифференциальных уравнений движения заданной механической системы

Откуда

, .

Искомые угловое ускорения цилиндра 1 и ускорение центра масс цилиндра 2 определяются равенствами

.

Пример 4.4. На сплошной однородный цилиндр 2 намотан невесомый трос, перекинутый через блок 3 (рис. 4.15 а). К концу этого троса прикреплен груз 1, который находится на горизонтальной шероховатой плоскости. Система приходит в движение под действием сил тяжести из состояния покоя. Определить ускорение груза и ускорение центра масс цилиндра, а также уравнение движения груза, если m₁ = m, m₂ = m₃ = 2m, коэффициент трения равен f. Массу блока считать равномерно распределенной по ободу.

а	б
Рис. 4.15