4. Аналитическая механика

4.1. Принцип виртуальных перемещений

Для равновесия механической системы с идеальными и стационарными связями в данном ее положении необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, на виртуальном (возможном) перемещении была равна нулю:

,

где – виртуальная работа равнодействующей активных сил, приложенных к точке M_k (k = 1, 2, … , n) системы.

Применяется также иная (эквивалентная) аналитическая форма условия равновесия.

Для равновесия механической системы с идеальными и стационарными связями в данном ее положении необходимо и достаточно, чтобы сумма мощностей всех активных сил на кинематически возможном движении точек их приложения была равна нулю:

,

где – мощность равнодействующей активных сил, приложенных к точке M_k (k = 1, 2, … , n) системы, на кинематически возможном ее движении.

Рис. 1

Пример 4.1. Кулисный механизм, расположенный в вертикальной плоскости и состоящий из кривошипа 1, кулисы 2 и ползуна 3, находится в равновесии под действием вертикальной силы Р = 20 Н и вращающего момента М (рис. 4.1 а). Определить величину вращающего момента, пренебрегая весом всех звеньев, если ОА = 30 см, О₁D = 120 см. Трением пренебречь.

Решение

а	б
Рис. 4.1

1. Рассмотрим механическую систему, состоящую из кривошипа 1, кулисы 2 и ползуна 3 (рис. 4.1 а), на которую наложены идеальные и стационарные связи.

2. Активными силами, действующими на систему, являются сила и пара сил с моментом М.

3. Для определения величины вращающего момента воспользуемся принципом виртуальных перемещений

,

который с учетом действующих на систему сил принимает вид

.

4. Для вычисления работ активных сил сообщим системе виртуальное перемещение, поворачивая кулису на угол dj по ходу часовой стрелки (рис. 4.1 б). При этом точка A ползуна совершит в абсолютном движении виртуальное перемещение , а в переносном движении – виртуальное перемещение вместе с кулисой. Кривошип повернется на некоторый угол также по ходу часовой стрелки. Эти виртуальные перемещения связаны следующими геометрическими соотношениями:

; ;

.

Виртуальное перемещение точки приложения силы определяется равенством

.

5. С учетом рассмотренного виртуального перемещения системы условие равновесия из п. 3 записывается в виде

или

.

Подставляя числовые значения в это равенство, находим

М = 300 Н·см.

Пример 4.2. Механизм эллипсографа (рис. 3.29), расположенный в вертикальной плоскости, состоит из кривошипа 1, линейки 2 и ползунов 3 и 4. К кривошипу 1 приложен вращающий момент M_вр. Пренебрегая весом звеньев, определить величину вертикальной силы P, которую нужно приложить к ползуну 4 для того, чтобы механизм был в равновесии при фиксированном угле j. Принять ОС = АС = СВ = l.

Решение

1. Рассмотрим механическую систему, состоящую из кривошипа 1, линейки 2 и ползунов 3 и 4, на которую наложены идеальные и стационарные связи.

2. Активными силами, действующими на систему, являются пара сил с моментом М_вр и уравновешивающая ее сила .

3. Для определения величины вращающего момента воспользуемся принципом виртуальных перемещений

,

который с учетом действующих на систему сил принимает вид

или в аналитической форме

.

4. Для определения вариаций координат, входящих в это уравнение, запишем уравнения наложенных на механическую систему связей

х_А = 0; у_А = 2lsinj.

Определим вариации координат по правилу вычисления дифференциала функции

, dу_А = 2lcosjdj.

5. Подстановка найденных вариаций координат в уравнение равновесия из п. 3 дает

.

Откуда

.