1.2. Равновесие твердых тел под действием произвольной пространственной системы сил

Для равновесия твердого тела, находящегося под действием произвольной пространственной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на координатные оси и суммы моментов сил относительно этих осей были равны нулю:

, , ,

, , .

Пример 1.3. Однородная квадратная плита 1 (рис. 1.21) удерживается в горизонтальном положении сферическим шарниром в точке A, цилиндрическим шарниром в точке B и невесомым стержнем 2. Плита нагружена силой F = 4 кН расположенной в плоскости Ayz. Определить реакции шарниров и усилие в стержне, если вес плиты равен 10 кН.

Р ешение

1. Рассмотрим равновесие плиты, мысленно освобождая ее от наложенных связей (сферический шарнир в точке А, цилиндрический шарнир в точке В и стержень 2).

2. Изобразим активные силы: и силу тяжести , а также реакции внешних связей, приложенных к плите (рис. 1.22).

3. Используя условия равновесия плиты, находящейся под действием пространственной системы сил, и обозначая длины отрезков и через , запишем

Откуда

; Y_A = 8,4 кН; Z_A = 13,4 кН; Y_B = 0; Z_B = 3,5 кН; S = 16,9 кН.

Модуль реакции шарнира в точке А определяется по ее составляющим равенством

.

Откуда .

1.3. Равновесие при наличии трения

При стремлении сдвинуть тело, лежащее на шероховатой поверхности, возникает сила реакции, которая имеет две составляющие – нормальную и силу трения, препятствующую скольжению. Сила трения при равновесии тела может принимать значения от нуля до максимального значения, которое определяется равенством

,

где f − коэффициент трения скольжения, N − нормальная реакция поверхности.

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Возникающий при этом момент сопротивления при равновесии может принимать значения от нуля до максимального значения, которое определяется равенством

,

где δ − коэффициент трения качения.

Пример 1.4. Однородный тяжелый стержень одним концом опирается на шероховатый пол, а другим – на гладкую стену. Определить угол , который стрежень образует с горизонтальной плоскостью при равновесии, если коэффициент трения между полом и стержнем равен f.

Р ешение

1. Рассмотрим равновесие стержня, мысленно освобождая его от связей (пола в точке А и стены в точке В) (рис. 1.37).

2. Изобразим силу тяжести и реакции связей .

3. Используя условия равновесия стержня в форме

, , ,

имеем

, ,

, ,

, .

Откуда

, .

4. Запишем неравенство, которому удовлетворяет сила трения при равновесии

или .

Откуда

.

Пример 1.5. Однородный цилиндр радиусом R покоится на шероховатой плоскости, образующей угол  с горизонтом. Определить, при каких значениях угла  возможно равновесие цилиндра, если коэффициент трения скольжения между цилиндром и плоскостью равен f, коэффициент трения качения равен δ.