Решение

1 . Изобразим маятник в произвольном положении, определяемом углом , который будем отсчитывать от начального положения нити (рис. 3.38).

2. Укажем силы, действующие на груз, принимаемый за материальную точку: силу тяжести и силу реакции нити , равную по величине ее натяжению.

3. Вводя в рассмотрение естественные оси, изобразим на рисунке 3.38 нормальную и касательную силы инерции. При этом и

4. Для определения натяжения нити воспользуемся принципом д’Аламбера для материальной точки, рассматривая уравновешенную систему сил . Составляем уравнения равновесия полученной системы сходящихся сил:

Откуда

, .

5. Для определения скорости груза сделаем замену переменной в дифференциальном уравнении с учетом равенства

, при этом .

В результате замены переменной дифференциальное уравнение движения груза имеет вид

при начальном условии: = 0.

Выполняя разделение переменных и интегрируя с учетом заданного начального условия

,

находим

.

6. Подстановка найденного значения скорости груза в полученное (п. 4) выражение для реакции нити дает

.

Пример 3.11. Тонкий прямолинейный однородный стержень длиной l массой m вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью , будучи шарнирно прикрепленным к ней своим концом. Вычислить угол отклонения стержня от вертикального направления, а также величину реакции шарнира.

Р ешение

1. Введем подвижную систему координат , поворачивающуюся вместе со стержнем (рис. 3.39). Рассматривая движение стержня, изобразим активную силу и составляющие реакции шарнира и в точке O.

2. Укажем распределенную систему сил инерции точек стержня, пропорциональных расстояниям от этих точек до оси вращения (рис. 3.39). Заменим распределенную систему параллельных сил инерции их равнодействующей

,

приложенной на расстоянии от точки закрепления стержня, где - ускорение центра масс стержня.

Так как вращение равномерное, то и .

3. Для определения реакции шарнира и угла отклонения стержня воспользуемся принципом д’Аламбера для механической системы, рассматривая уравновешенную систему сил . Составляя уравнения равновесия плоской системы сил

с учетом выражения для силы инерции, находим

, , .

Откуда

, .

3.8. Принцип д'Аламбера. Определение динамических реакций

Принцип д’Аламбера для точки. Если в фиксированный момент движения, кроме действующих на точку сил, добавить силу инерции, то система сил будет уравновешенной.

Силой инерции материальной точки называется сила, равная по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленная в сторону противоположную ускорению

.

Принцип д’Аламбера для механической системы. Если в фиксированный момент времени к каждой точке механической системы, кроме действующих сил, добавить силы инерции, то система сил будет уравновешенной.

Систему сил инерции, приложенных к точкам твердого тела, в общем случае можно заменить силой и парой сил. Сила приложена в центре приведения и равна главному вектору сил инерции, момент пары равен главному моменту сил инерции относительно центра приведения. Если центр приведения – центр масс механической системы, то

, ,

где – кинетический момент механической системы относительно центра масс.

При поступательном движении твердого тела система сил инерции приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через центр масс и определяется равенством

.

При вращении тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно этой плоскости, система сил приводится к паре сил, лежащей в плоскости материальной симметрии тела. Вектор момента этой пары определяется равенством

,

где – момент инерции, относительно оси, проходящей через центр масс.

Алгебраический момент пары сил инерции может быть вычислен по формулам:

.

При плоском движении твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии, система сил инерции приводится к силе и к паре сил, лежащей в плоскости материальной симметрии

, ,

где − момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости материальной симметрии.

Аналогично рассматривается приведение системы сил инерции при вращении тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокруг оси, не проходящей через центр масс. При этом за центр приведения может выбираться как центр масс, так и неподвижная точка на оси вращения. Если в качестве центра приведения принимается точка , лежащая на оси вращения в плоскости симметрии, то главный момент сил инерции равен

,

где  момент инерции тела относительно оси вращения .

При движении несвободного твердого тела реакции связей, действующие на это тело, складываются из статических и добавочных динамических составляющих

,

где − главный вектор статических реакций, − главный вектор динамических реакций.

Статические реакции определяются из уравнений статики, а динамические обусловлены движением тела и определяются только силами инерции.

Д инамические реакции подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси (рис. 3.37) с учетом принципа д’Аламбера можно определить из следующей системы уравнений

Пример 3.10. Математический маятник с длиной нити l и массой подвешенного груза m, отпущен из горизонтального положения без начальной скорости. Определить натяжение нити в зависимости от угла ее поворота.