3.5. Изменение кинетической энергии механической системы

Теорема (дифференциальная форма). Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на систему:

, где .

Теорема (интегральная форма). Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на систему, на том же перемещении:

.

В частных случаях движения твердого тела его кинетическая энергия определяется равенствами

а) поступательное движение: ;

б) вращательное движение: ,

где – момент инерции твердого тела относительно оси вращения;

в) плоское движение ,

где – момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения тела.

Работа силы на конечном перемещении точки ее приложения из положения в положение определяется равенствами

или .

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу, при повороте на конечный угол определяется равенством

.

Мощность силы может быть вычислена через скорость точки ее приложения по формуле

.

В случае если сила приложена к вращающемуся твердому телу, мощность определяется по формулам

или .

Мощность пары сил с моментом , приложенной к твердому телу, определяется равенством

.

Пример 3.7. Однородный стержень весом 60 Н длиной 2l (l = 20 см) движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести, будучи связан на концах шарнирами с ползунами весом 20 Н каждый. При этом ползуны движутся по вертикальной и горизонтальной направляющим. Пренебрегая трением, определить угловое ускорение как функцию угла поворота стержня.

Решение

1 . Рассмотрим движение механической системы, состоящей из стержня 2 и ползунов 1 и 3, находящейся под действием внешних сил тяжести и реакций связей и в точках А и В (рис. 3.13).

2. Для определения углового ускорения применим теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме

.

3. Найдем кинетическую энергию механической системы как сумму кинетических энергий тел, входящих в эту систему

Выразим скорости ползунов и центра масс стержня через его угловую скорость, для чего построим мгновенный центр скоростей P_v стержня (рис. 3.13) и запишем соответствующие кинематические соотношения

,

или

.

Тогда кинетическая энергия механической системы записывается в виде

.

4. Вычислим сумму мощностей внешних сил, действующих на систему, воспользовавшись формулой для вычисления мощности силы, приложенной к вращающемуся телу. В каждый момент движения мгновенная ось вращения проходит перпендикулярно плоскости движения через мгновенный центр скоростей P_v

Сумма мощностей внутренних сил в данной системе равна нулю.

5. Подставляя найденные выражения для кинетической энергии и суммы мощностей внешних сил в равенство, выражающее дифференциальную форму записи теоремы об изменении кинетической энергии (п. 2), получим

.

Учитывая, что

,

находим

,  рад/с² .