3.3. Движение центра масс и изменение количества движения механической системы
Центр масс механической системы – это точка, положение которой определяется радиусом-вектором
.
Теорема. Центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе всей системы, к которой приложена сила, равная главному вектору внешних сил
.
Внутренние силы не влияют на движение центра масс.
Если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то центр масс механической системы движется равномерно и прямолинейно или находится в покое.
Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то по отношению к этой оси центр масс механической системы движется равномерно или соответствующая координата центра масс постоянна.
Теорема. Производная по времени от количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил, действующих на систему:
,
где
,
– масса системы,
– скорость ее центра масс.
Если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то количество движения механической системы не изменяется (закон сохранения количества движения).
Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения механической системы на эту ось постоянна.
Пример
3.5. Электрический мотор 1 массой
m1 установлен
без креплений на гладком горизонтальном
фундаменте (рис. 3.7 а); на валу мотора
закреплен однородный стержень 2
массой m2
длиной 2l, несущий на
конце точечный груз 3 массой m3.
Угловая скорость вала постоянна и равна
.
В начальный момент стержень был
горизонтален. Определить закон движения
мотора, пренебрегая трением, а также
угловую скорость вала, при которой мотор
будет подпрыгивать над фундаментом.
Решение
1. Изобразим механическую систему (мотор, стержень, груз) в произвольный момент времени (рис. 3.7 б).
2.
Внешними силами для системы являются
силы тяжести
и
- суммарная реакция
опоры (рис. 3.7 б).
3. Воспользуемся теоремой о движении центра масс
,
где m = m1
+ m2 + m3
.
Проецируя на ось , находим:
Интегрируя это уравнение, получим
5. Из определения центра масс системы
,
где
– координаты центров масс соответствующих
тел.
В начальный момент времени стержень горизонтален и
.
Откуда
С учетом начальных условий
,
и
.
То есть центр масс системы вдоль горизонтальной оси не перемещается.
6.
Найдем
– закон движения мотора из уравнения,
определяющего координату xC
центра масс механической системы,
,
где
.
Откуда
.
Мотор совершает гармонические колебания амплитуды
с
периодом
.
7. Для определения предельной угловой скорости запишем теорему о движении центра масс в проекции на ось :
Откуда
.
8. Из определения центра масс системы
где
– координаты центров масс соответствующих
тел, определяются соотношениями:
Выполняя дифференцирование, находим
.
Мотор
не будет оказывать давления на опору и
начнет подпрыгивать при
Это явление будет происходить при угловой скорости
