Решение
1.
Определим скорость груза в момент его
касания с плитой. Как известно, при
падении материальной точки с высоты h
без начальной скорости она приобретает
скорость
м/с. Дальнейшее движение груз будет
совершать вместе с невесомой плитой.
2.
Найдем жесткость
эквивалентной пружины, которой можно
заменить заданные параллельные пружины.
При параллельном соединении пружин
жесткость эквивалентной пружины
определяется равенством
Н/см.
3
.
Изобразим груз в произвольном положении
М и покажем действующие на него
силы: силу тяжести
,
силу упругости
эквивалентной пружины (длиной l
в недеформированном состоянии) (рис. 3.2).
4. Составим дифференциальное уравнение движения груза
,
здесь
;
– деформация
пружин в произвольном положении груза
определяется равенством:
,
– статическая
деформация пружин при равновесии груза
(расстояние от положения груза при
недеформированных пружинах до его
положения равновесия).
Тогда
.
С
учетом условия равновесия (
)
имеем
или
,
где
.
Начальные условия запишем, учитывая, что деформации пружин до взаимодействия груза с плитой не было, а начальная скорость равна скорости груза в момент касания:
м,
м/с.
5. Запишем общее решение дифференциального уравнения движения груза, а также закон изменения скорости
,
.
6. Определим постоянные интегрирования, подставляя начальные условия в общее решение дифференциального уравнения
Из решения этой системы уравнений определяются постоянные интегрирования
,
.
7. Запишем закон движения груза в амплитудной форме
где
амплитуда колебаний
м, а начальная фаза
.
Движение груза вместе с плитой происходит согласно следующему закону свободных колебаний
.
Пример
3.4. Груз весом Р = 980 Н находился
в покое будучи подвешенным к
вертикальной пружине с коэффициентом
жесткости с
= 50
Н/см. Найти уравнение движения
груза, если в некоторый момент времени
верхний конец пружины начал совершать
колебания по закону
(s – в сантиметрах,
t – в секундах). При движении груз
испытывает силу сопротивления
.
Принять Н = 20 см,
p = рад/с,
b = 4 Н·с/см.
Решение
1
.
Рассмотрим движение груза, принимая
его за материальную точку (рис. 3.3). Начало
координат поместим в положение
статического равновесия груза на
пружине, соответствующего начальному
положению ее верхнего конца. Ось Ох
направим вертикально вниз.
2.
Изобразим груз в произвольном положении
М и покажем действующие на него
силы: силу тяжести
,
силу упругости пружины
и силу сопротивления
.
3. Составим дифференциальное уравнение движения груза
,
здесь
,
,
где – деформация
пружины в произвольном положении груза
определяется равенством (рис. 3.3)
,
– статическая деформация пружины при равновесии груза.
Тогда
.
С
учетом условия равновесия (
)
получаем дифференциальное уравнение
движения груза
или
,
где
.
Начальные условия с учетом его покоя в положении равновесия в начальный момент времени имеют вид
,
.
4. Запишем общее решение дифференциального уравнения движения груза и закон изменения его скорости, которые с учетом условия n < k, имеют вид
.
Амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний не зависят от начальных условий и определяются выражениями:
,
.
5. Определим постоянные интегрирования из системы уравнений, получаемой подстановкой начальных условий в общее решение дифференциального уравнения,
Откуда
см,
см.
6. Запишем уравнение движения груза в амплитудной форме
где
см, а
.
Движение груза при заданном перемещении верхнего конца пружины находится как сумма свободных затухающих и вынужденных колебаний в виде
.