Учебный контент по теоретической механике

Аннотация

Контент по теоретической механике предназначен для студентов высших учебных заведений по всем направлениям обучения и специальностям. Содержание соответствует полной программе обучения и требованиям государственных образовательных стандартов. Состоит из четырех глав (статика, кинематика, динамика, аналитическая механика). Изложены основные теоретические сведения по всем разделам курса теоретической механики: даны необходимые определения с формулировками теорем и принципов, а также приведены соответствующие им математические модели. Представлено 38 подробно иллюстрированных примеров с указанием планов решения задач.

1. Статика

1.1. Равновесие твердых тел под действием произвольной плоской системы сил

Для равновесия твердого тела под действием произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей и сумма моментов сил относительно произвольной точки плоскости равнялись нулю:

, , .

Условие равновесия твердого тела под действием плоской системы сил может быть записано в следующих эквивалентных формах:

, ,

(отрезок не перпендикулярен оси , при этом исключается случай приведения системы сил к равнодействующей, проходящей через точки и );

, ,

(точки A, B, C не лежат на одной прямой, при этом исключается случай приведения системы сил к равнодействующей, проходящей через точки A, B и C).

Если в равновесии находится не одно тело, а система тел, то для определения всех неизвестных величин необходимо расчленять систему, вводя в рассмотрение реакции внутренних связей.

Пример 1.1. Определить реакции опор в точках А и В балки (рис. 1.1), находящейся под действием сосредоточенной силы Р = 6 кН и пары сил с моментом М = 3 кН·м, если АВ = 3 м; ВС = 2 м. Весом балки пренебречь.

Решение

Рис. 1.1.

1. Рассмотрим равновесие балки, мысленно освобождая ее от связей (неподвижной шарнирной опоры в точке А и подвижной шарнирной опоры в точке В).

2. Изобразим заданные силы и реакции связей (рис. 1.2).

Рис. 1.2.

3. Запишем уравнения равновесия балки в форме

, , ,

имеем

, ,

, ,

, .

Откуда

, , .

Знак «минус» означает, что истинное направление соответствующей реакции противоположно выбранному при решении задачи.

Рис. 1.3

Пример 1.2. Определить реакции внешних (в точках A и E) и внутренней (в точке C) связей составной рамы (рис. 1.3), находящейся под действием сосредоточенных сил Р₁ = 12 кН, Р₂ = 10 кН и пары сил с моментом М = 16 кН∙м. Весом рамы пренебречь.

Решение

Рис. 1.4

При исследовании равновесия системы двух тел возможны два способа решения задачи: рассмотреть равновесие одной части конструкции и конструкции в целом, либо рассмотреть равновесие каждой части конструкции отдельно. При решении данной задачи воспользуемся первым способом решения.

1. Рассмотрим равновесие левой части рамы, мысленно освобождая ее от связей (подвижной шарнирной опоры в точке А и неподвижной шарнирной опоры в точке С).

2. Изобразим заданные силы и реакции внешней и внутренней связей, приложенные к левой части рамы (рис. 1.4).

3. Используя условия равновесия левой части рамы в форме

, , ,

имеем

, ,

, ,

, .

Откуда

Рис. 1.5

, , .

4. Рассмотрим равновесие рамы, мысленно освобождая ее от внешних связей (подвижной шарнирной опоры в точке А и жесткой заделки в точке E).

5. Изобразим заданные силы и реакции внешних связей, приложенные к раме (рис. 1.5).

6. Используя условия равновесия рамы в форме

, , ,

имеем

, ,

, ,

, .

Откуда

Рис. 1.6

, , .

Задача 1.1. Определить реакции связей в точках А и В балки (рис. 1.6), находящейся под действием силы Р = 4 кН и пары сил с моментом М = 6 кН∙м.

Ответ: X_A = –3,46 кН; Y_A = –6 кН; R_B = 8 кН.