Універсальна множина

Означення. Множина U (позначається також І), для якої решта всіх інших множин є підмножинами, називається універсальною множиною, а також повною, або одиничною. Іноді вона ще називається універсумом.

Універсальна множина є поняттям відносним. Наприклад, в арифметиці універсальною множиною вважається множина раціональних чисел, а її підмножиною буде множина цілих чисел. У той же самий час множина натуральних чисел є підмножиною цілих чисел.

Для універсальної множини виконуються рівності

(1.10)

Абсолютне доповнення множин

Означення. Множина , що визначається за співвідношенням , називається абсолютним доповненням, або просто доповненням множини А до універсальної множини І.

Із приведеної рівності видно, що не тільки є доповненням до І, але й А є доповненням до І, тобто завжди . Далі . Із цього випливає, що . Також очевидно, що А і не мають спільних елементів. Тому .

Розбиття множин

Будь-яка сукупність n множин: , що розділяється, називається системою множин.

Система множин S називається розбиттям множин M, якщо вона задовольняє таким умовам:

1. Будь-яка множина А системи S є підмножиною множини М :

.

2. Будь-які дві множини А і В з S не перетинаються:

3. Об’єднання всіх без винятку множин системи S утворює множину М:

Розбиття множин широко використовується як у математичних теоріях, так і на практиці, особливо в задачах з кодування інформації. Тому спеціаліст у галузі інформатики й цифрової схемотехніки досить часто буде зустрічатися з такими задачами.

Діаграми Ейлера-Венна

Для наочного зображення операцій над множинами досить часто використовують діаграми (круги) Ейлера-Венна. Універсальна множина U зображується у вигляді точок деякого прямокутника, а її підмножина – як круг усередині прямокутника (рис.1.1). Доповнення множини А до U зображується тією частиною прямокутника, яка лежить поза кругом, що зображає А. Якщо на діаграмі Ейлера зобразити кругами множини А і В , що є підмножинами U, то множини і будуть зображені заштрихованими областями на рисунках 1.2 і 1.3 відповідно.

Множини для різниць А-В і В-А, а також симетричної різниці А+В показані заштрихованими ділянками на рисунках 1.4, 1.5, 1.6 відповідно.

Рисунок 1.1. Діаграма Ейлера-Венна для множини А

Рисунок 1.2. Діаграма Ейлера-Венна для перетину двох множин А і В

Рисунок 1.3. Діаграма Ейлера-Венна для об'єднання двох множин А і В

Рисунок 1.4. Діаграма Ейлера-Венна для різниці двох множин А-В

Рисунок 1.5. Діаграма Ейлера-Венна для різниці двох множин В-А

Рисунок 1.6. Діаграма Ейлера-Венна для симетричної різниці двох множин А+В

Алгебра множин

Алгебра множин створюється з допомогою операцій між підмножинами універсальної множини як сукупність рівностей – тотожностей. Наприклад, для будь-яких підмножин (множин) А, В та С універсальної множини U дійсними є рівності:

;

;

;

;

.

;

;

;

;

.

Кожну з наведених рівностей можна довести, показавши, що будь-який елемент множини, що стоїть з одного боку від знака рівності, належить до множини, яка стоїть з іншого боку від цього знака рівності.

Доведення рівності 3. Доведення складається з двох частин:

1. Нехай . Тоді або . Якщо , то і , і таким чином, х є елементом перетину цих множин: . Якщо , і . Отже, і . У цьому випадку х також є елементом перетину .

2. Розглянемо вираз

.

Нехай . Тоді і . Отже, або , або і . З цього випливає, що .

Тобто х належить як до першої частини рівності 3, так і до другої, що й доводить її.

Рівності 1 та називаються асоціативними законами для об'єднання і перетину, а рівності 2 та - комутативними законами для цих операцій. Рівності 3 та - це дистрибутивні закони для цих операцій.

Для довільних підмножин А і В універсальної множини U, крім вищезазначених рівностей, справедливі також рівності:

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Деякі з рівностей відомі під спеціальними назвами. Так 3 і - це закони ідемпотентості; 5 та - закони поглинання; 6 та - закони де Моргана.

Приклад 1. .

Приклад 2.

Приклад 3. Довести, що :

.