6.2. Справочные сведения по теории графов

Если граф G(рис. 3.10) задается множеством Х точек или вершин и множествомAлиний или ребер, соединяющих все или часть точек, то граф полностью задается парой (Х, У).

Если ребра графа имеют направление что показывается стрелкой, то они называются дугами и граф называется ориентированным графом (орграфом). Если ребра графа не имеют ориентации, то граф называется неориентированным (неографом).

Ребра а = (x_i,x_j),x_ix_j , имеющие общую концевую вершину, называются смежными. Две вершины называются смежными, если существует хотя бы одно ребро, соединяющее эти вершины.

Ребро а = (х_i,x_j) инцидентно вершинам х_i,x_j и, наоборот, вершины х_i,x_jинцидентны ребруа.Число ребер, инцидентных вершине х_i , называется степенью вершины. Графы, для которых сохраняется отношение инциденции, называются изоморфными графами.

Если ребрам сопоставить числа, т. е. ребру (х_i ,x_j) ставится в соответствие некоторое число с_ij, называемое весом ребра, то графGназывается графом со взвешенными ребрами, если вершинам ставится в соответствие некоторое число, то граф называется графом со взвешенными вершинами. Если веса приписаны и ребрам и вершинам, то граф называется взвешенным графом.

Граф, у которого существует хотя бы одна пара вершин, соединяемых mребрами (m>1), называется мультиграфом. Ребра, связывающие одну и ту же пару вершин, называются кратными.

Граф называют полным графом, если для любой пары вершин во множестве Х существует, по крайней мере одно ребро, связывающее их.

Граф называется двудольным графом (биграфом), если множество его вершин Х может быть разбито на такие два подмножества Х^а и Х^b, что каждое ребро имеет один конец в первом подмножестве, а другой во втором.

Граф называется планарным, если его можно изобразить на плоскости так, что никакие два его ребра не пересекаются.

Плоский граф – граф, изображенный на плоскости без пересечения ребер, а пространственный - в трехмерном пространстве.

Подграфом графа G= (X,A) называется графG’ = (X’,A’), для которогоA’Aи Х’Xи суграфом этого графа называется графG’=(X,A’), для которогоA’A.

Гиперграф – граф, в котором ребра есть n-местные отношения между вершинами (n2), т.е. каждое ребро является подмножеством инцидентных ребру вершин. Ультраграф имеет в своем составе дуги (ориентированные ребра).

Пусть G= (X,A) – неориентированный граф без петель и кратных ребер.Маршрутомsв графеGназывается последовательность ребер, в которой пары соседних ребер - смежные (n– длина маршрута). Маршрутs, в котором нет повторяющихся ребер, - цепь. Если в некоторой цепи совпадают начальная и конечная вершины, то такая цепь называется циклом Цикл, в котором содержатся все ребра графа, называется эйлеровым. Цикл, проходящий через каждую вершину графа по одному разу, называется гамильтоновым.

Связный граф – граф, в котором две любые вершины можно соединить цепью. Связный граф без циклов называется деревом. Множество деревьев графа составляют лес. В дереве две любые вершины связаны единственной цепью.

Алгебраически графы задают матрицами смежности и инциденций. Матрица смежности А имеет размерность n x n. Матрица орграфа: а_ij = m, если в графе существует m дуг (х_{i ,} x_{j )}; a_ij = 0 , если в графе нет дуги (х_{i ,} x_j), n- число вершин. Матрица показана на рис. 3.10.

Для неографов а_ij равно числу кратных ребер между вершинами, а матрица А симметрична. Матрицей инциденций B (n x m – размер матрицы) для орграфа называется матрица, у которой: b_ij = 1, если х_i является начальной вершиной дуги a_j ; b_ij = 0, если x_i не является вершиной дуги a_j или a_j является петлей; m – число дуг в графе, n- число вершин. Для неографа b_ij = 1, если вершина x_i инцидентна ребру a_j и b_ij = 0 в противном случае.

Для коммутационно-монтажного проектирования большое значение имеют метрические свойства графов. Расстоянием d(x_i, x_j) между указанными вершинами графа называется длина кратчайшей цепи, соединяющей эти вершины. Под длиной цепи понимается число входящих в нее ребер. Функцию расстояний графа задают матрицей расстояний D.