23. Задачи компоновки. Алгоритм задачи покрытия.

В общем случае нужно найти на множестве позиций монтажного пространства ПП такое размещение элементов Э_i, принадлежащих данному узлу, при котором достигается минимум заданного критерия качества размещения в принятой метрике.

В регулярном монтажном пространстве с числом позиций mпри наличии в схемеnэлементов (nm), каждый из которых занимает одну позицию, число возможных размещений будет

N _P (m,n) =n!Cⁿ_{m .}

В настоящее время все еще не существует для задачи размещения методов, которые гарантируют глобальное оптимальное решение на основе формализованного подхода. Поэтому применяются эвристические процедуры, алгоритмы которых имеют конструктивный (последовательный) или итерационный характер.

Конструктивные алгоритмы (например, последовательный метод связывания пар, или последовательно-параллельный метод расширения ядер) формирует размещение, начиная от некоторого заданного элемента (контактов МС), последовательным добавлением элементов с учетом критерия оптимальности и заданных ограничений до тех пор, пока все элементы не будут установлены. Конфигурация размещения при использовании конструктивных алгоритмов определяется только после полного завершения работы алгоритма.

Итерационные алгоритмы (например, метод парных перестановок, метод групповых перестановок, методы, использующие механические или электрические аналоги, методы ветвей и границ), которые улучшают начальное размещение, имеют преимущество перед конструктивными алгоритмами. Оно заключается в том, что на любом этапе работы итерационного алгоритма уже существует законченный вариант размещения для практического использования.

Задача оптимизации ставится как линейное или квадратичное назначение с введением весовых коэффициентов в функцию критерия качества:

F = k₁  c _ij d_{p(i) p(j)} + k₂  a_ip(i) ,

^{i j i}

где к₁, к₂ – весовые коэффициенты, учитывающие важность используемого критерия качества (выбирается эвристически); с_ij – элемент матрицы стоимости С = [c_ij] назначенияi-го компонента наj-ю позицию;d _p(i)p(j)– элементы матрицы расстоянийD=d [l,h] , вычисленные с учетом принятой метрики;a_ip(i) –элементы стоимости назначения по другому критерию;p– заданная перестановка элементов. Если матрицыCиDсимметричны, то квадратичная задача назначения (при к₂ = 0) часто формулируется следующим образом: найти перестановку р, которая минимизирует функционал

F =  c_ij d _p(i)p(j).

_i<j

Как правило, на практике используют сочетание методов, а также учитывают специфику технологии изготовления плат, что приводит к большому многообразию как постановок задач, так и программных реализаций, имеющих достаточно сложный характер.

Как пример простого алгоритма решения задачи размещения, рассмотрим конструктивный алгоритм «обратного размещения». В этом методе задается матрица соединений элементов и матрица расстояний между позициями. Для каждого элемента рассчитывается по матрице С суммарное число соединений остальными элементами:

_n

{c_i =c_ij , i=1,2,…,n} (c_ij = 0 при i = j),

^j=1

а для каждой позиции монтажного пространства вычисляется характеристика, определяющая суммарное расстояние этой позиции до остальных:

_n

{d_i = d_ij , i =1,2,…, n} (d _ij = 0 при i = j).

^j=1

Очевидно, что центральные позиции монтажного пространства, имеющие меньшее значения d_i, наиболее благоприятны для расположения сильно связанных элементов, имеющих большие значения с_i. Минимизируя функцию назначения, можно получить квазиоптимальное с точки зрения суммарной взвешенной длины соединений размещение, используя следующую эвристическую процедуру.

1. Элементы сортируют по возрастанию характеристики с_i.

2. Позиции сортируют по убыванию характеристики d_i .

3. Правило размещения определяется перестановкой: позиции присваивается номер к_i.

Таким образом, на «лучшие» позиции устанавливаются «худшие» элементы. Пример выполнения рассмотренного алгоритма размещения (рис. 9.1.).