6. Математические модели схем. Представление графами.

6.1. Исходным документом для коммутационно-монтажного проектирования является принципиальная электрическая схема, которая может быть представлена графовой моделью схемы. Требования к этой модели: информационная полнота; формализация описания; наличие математического аппарата представления и обработки модели (алгоритмов формирования и обработки); однозначность и полнота перехода от объекта к модели и обратно (адекватность модели объекту); наглядность представления.

В наибольшей степени изложенным требованиям удовлетворяет граф, являющийся содержательной моделью объекта. Геометрическое задание графа наглядно представляет отображаемый объект, а матричный и аналитический способы – формально.

Основные задачи конструкторского проектирования: компоновка, размещение компонентов и трассировка монтажа. Для этого нужна информация: связность компонентов по контактам и направление сигналов; фактор неизвестности соединений в пределах одного комплекса, т. е. электрической цепи; данные по описанию топологии компонентов; метрические параметры.

Суть перехода от схемы к графу: компонентам схемы или их выводам (в зависимости от требуемой степени детализации отображения схемы) ставятся во взаимно однозначное соответствие вершины графа, а связи между ними представляются ребрами. Таким образом получаем модель схемы в виде неориентированного графа или, если заданы направления сигналов, то дугами и получаем модель в виде ориентированного обыкновенного графа. При наличии нескольких связей между вершинами граф преобразуется в мультиграф.

Модель схемы в виде неориентированного мультиграфа.Чтобы задать информацию о связности элементов или их выводов, каждая цепь (комплекс) интерпретируется полным подграфом, что приводит к появлению избыточных ребер. Количество вершин подграфа определяется числом элементов или выводов, соединенных данной цепью. При этом учитывается фактор неизвестности соединения, так как покрывающие деревья, построенные на полном подграфе, соответствуют возможным вариантам соединения элементов данной цепью. Модель схемы получается объединением полных подграфов. При такой интерпретации часто применяют вероятностный подход - каждому ребруu_iUполного подграфа присваивают вес

p_i =1/(k-1),

где – количество вершин полного подграфа.

Модель схемы (рис. 3.7а) при сопоставлении элементам схемы вершин графа показана на рис. 3.7б. Введение избыточных ребер может сделать граф непланарным, хотя интерпретируемая им схема – планарна. По данному графу нельзя получить правильную оценку числа электрических связей между частями схемы. Например, количество ребер, попадающих в разрез между кусками G₁иG₂графаG(рис.3.7,б, Х₁={x₁,x₃},X₂={x₂,x₄}), равно четырем (для вероятностного графа сумма весов ребер равна⁴/₃), в то время как в схеме разрезается только одна цепь.

При сопоставлении выводам элемента вершин графа граф схемы (рис. 3.7,а) распадается на отдельные компоненты связности (рис. 3.8, а), количество которых определяется числом электрических цепей схемы. Объединяя эти компоненты связности в соответствии с принадлежностью выводов элементам схемы, получим рассмотренную выше модель.

Модель схемы, полученную объединением полных подграфов, можно использовать для решения задач размещения элементов (информацию о метрических параметрах элементов следует учитывать в весовых характеристиках вершин), и компоновки алгоритмами, в которых определяющим является фактор связности. Модель схемы в виде отдельных компонент связности несет информацию о соединяемых выводах элементов для задачи трассировки.

Электрическую цепь можно представить фиксированным деревом (рис. 3.8, б). В этом случае исключаются избыточные ребра, однако не учитывается фактор неизвестности соединений и неверно отражается связность элементов схемы, так как любые две несмежные вершины дерева не связанны между собой, в то время как в схеме между соответствующими элементами существует электрическая связь. Такую модель можно использовать для решения топологических задач трассировки, если нет ограничений на проведение соединений под элементами и между их контактами.

Модель схемы в виде ориентированного мультиграфа. Такое представление схемы используют для задач, в которых необходимо учитывать направления связей между элементами. В этих задачах точная оценка числа линий связи между элементами или частями схемы несущественна. Чтобы определить, что сигнал с выхода одного элемента поступает на вход другого, используют следующий способ представления электрических цепей дугами ориентированного графа: каждая цепь, соединяющая выходыnисточников сигналов с входамиmприемников, интерпретируется двудольным ориентированным подграфом, таким что

(x_iX₁,x_jX₂)u=(x_ix_j);X=X₁X₂;X₁X₂=,

где Х₁- множество вершин источников сигналов (|X|=n;X₂- множество вершин приемников сигналов (|X₂|=m), т. е. каждая вершина, поставленная в соответствие элементу - источнику сигнала для данной цепи, соединена дугой с каждой вершиной, соответствующей элементу-приемнику сигнала.

При таком способе представления цепей появляются избыточные ребра. Модель схемы получается объединением двудольных ориентированных графов. Логическую функцию элемента можно задать в качестве веса соответствующей вершины графа. Граф схемы (см. рис. 3.7, а) показан на рис. 3.9, а. В этом графе вес, например, вершины х₁равен семи, т. е. определяется типом элемента Э1. Модель не отображает схему с точностью до вывода элемента, поэтому является корректной для схем, реализованных на элементах с одним выходом и равнозначными входами. Корректность модели для схем, построенных на элементах с неравнозначными входами и выходами, может быть обеспечена введением весов ребер.

Вес каждого ребра представляет упорядоченную пару, первый элемент которой характеризует выход элемента-приемника (в простейшем случае пару составляют номера выводов этих элементов). Данная модель предназначена для решения частных задач компоновки (поиск повторяющихся частей схем, установление идентичности схем).

Идентификацию с точностью до выводов элементов схем можно получить также при сопоставлении выводов вершинам графа (рис. 3.9, б). Граф схемы распадается на lкомпонент связности, гдеl– число электрических цепей схемы.