5. Математические модели монтажного пространства. Метрика (способ задания расстояний) в монтажном пространстве.

Постановка и решение конструкторских задач невозможны без определения ММ монтажного пространства для каждого ранга конструкций. Монтажным пространством сборочной единицы называется некоторая область, ограниченная габаритами этого узла. Монтажное пространство – метрическое пространство, в котором размещаются элементы какой-либо схемы и осуществляется их электрическое соединение. Различают регулярные и нерегулярные монтажные пространства. Регулярные монтажные пространства имеют, как правило, прямоугольную форму, одинаковые по размерам компоненты, постоянный шаг ячеек по осям координат и постоянную сетку для трассировки проводников (рис.3.1). Нерегулярное монтажное пространство характеризуется тем, что компоненты имеют разные размеры и разную форму и не имеют точно определенных посадочных мест (например, подложки МС).

Графовой моделью монтажного пространства является неориентированный взвешенный связный граф G= (X,A), в котором множество вершин соответствует посадочным местам в координатахXY, а множество ребер – связям между вершинами на координатной сетке. ГрафGявляется полным графом и отражает все возможные варианты расположения компонентов в данном монтажном пространстве и расстояния между ними. Следовательно, размещение компонентов по вершинам графа может быть самым разнообразным. Поэтому требуется определить все ребра, которые могут соединятьnвершин. Таких ребер будетA=n(n-1) / 2. Полученное множество вершинXи множество реберAобразуют полный графG.

Математическая модель компоновки элементов в монтажном пространстве. Компоновка элементов схемы в монтажном пространстве должна соответствовать требованиям, которые учитывают:

1. конфигурацию монтажного поля – конструктив печатной платы;

2. особенности конструкции компонентов схемы;

3. плотность размещения компонентов;

4. взаимное расстояние между центрами соседних компонентов, которое определяется как t(x) =a+khиt(y) =b+kh, гдеaиb– размеры компонентов по соответствующим осям координат;k– коэффициент, равный 0, 1, 2, ….;h– шаг координатной сетки монтажного пространства.

При размещении плоскость регулярной монтажной платы разбивается на равные прямоугольники – ячейки со сторонами t(x) иt(y) (рис.3.2). Центры ячеек будем называть базовыми точками; их координаты могут быть выражены целыми числами.

Компоновка платы в нерегулярном монтажном пространстве. Это пространство может иметь контур, ограниченный произвольной ломаной линией или полилинией (рис. 3.3) и компоненты имеют разные размеры и форму, а ячейки не имеют точно определенных посадочных мест. Рассмотрим задачу размещения компонентов, отличающихся как по размеру, так и по форме. Геометрическая форма компонента может быть представлена в виде набора одинакового размера квадратов, которые называют базовыми. Таким образом, компонент представляется в виде некоторой области произвольной конфигурации, разделенной на базовые квадраты. Монтажное пространство также должно представлять полигон, разбитый наmбазовых квадратов с определенной нумерацией (рис. 3.4). Пример размещения разногабаритных компонентов в монтажном пространстве дан на рис.3.5.

Переход от графотеретической модели схемы к геометрической модели монтажного пространства.Рассмотрим формализацию перехода на примере регулярной структуры. Поставим в соответствие схеме соединений компонентов взвешенный мультиграфG= (X,A), который характеризуется матрицей смежностиA= [a _{i j}]_{n x n ,}гдеn- число компонентов,a_{i , j} – число соединений между компонентамиx _i иx_j. Модель платы представлена на рис. 3.6.

Поставим в соответствие монтажному пространству граф G _r = (P,U), множество вершин которого соответствует базовым точкам ячеек, а множество ребер – координатной решетке, связывающей вершины графа. Этот граф характеризуется матрицей расстоянийD. Присоединение электрических цепей задается матрицей инциденций С.

Для графа, рассматриваемого в системе координат XY, функция расстояний между вершинамиx_iиy_jможет быть определена следующими способами:

1. В евклидовой метрике – как расстояние между двумя точками на плоскости d= [ (x_i-x_j)²+(y_i–y_j)²]^1/2.

2. В ортогональной (линейной) метрике d= |x_{i –} x_j| + |y_{i –}y_j |.

3. В нелинейной метрике d_{ij =} (x_i–x_j)^k+ (y_{i –} y_j)^k, где к = 2, 3 … .