Логика алгебрасы

Кез келген ақпарат түрлерін ұсыну және өңдеу құралдары ретінде пайдаланатын сандық автомат ұғымы "Информатика" курсының ең негізгі ұғымы болып табылады. Сандық аппаратты формалды түрде суреттеу үшін математикалық логиканың ең бір негізгі бөлімдерінің бірі болып табылатын логика алгебрасының аппаратын кеңінен қолданады.

Логика – бұл адам ойлауының түрлері мен заңдары туралы ғылым, дербес жағдайда дәлелді пікірлері (рассуждение) туралы заңдар.

Логика алгебрасы – күрделі логикалық тұжырымдар құрылымын және алгебралық әдістерінің көмегімен олардың ақиқаттылығын орпнату әдістерін зерттейтін матемктикалық логиканың бөлімі.

Джордж Буль (1815-1864) өзінің «Логиканың математикалық анализі» (1847 ж) және «Ойлау заңдары» (1854 ж) атты шығармасында тұңғыш рет «логика алгебрасын» баяндайды. XIX ғасырда логиканың заңдарын зерттегенде, логика алгебрасы деп аталатын санау жүйесін шығарады. Сандықтан, логика алгебрасын Булдік алгебра деп атайды. Логика XIX ғасырда символдардың енгізілуі нәтижесінде, одан әрі дамып, жаңа ғылымның – математикалық логиканың қалыптасуына мүмкіндік туды.

Соңғы жылдарда булдік алгебра Э.Пост, К.Шеннон, Г.Л.Шестаков, В.М.Глушков, С.В.Яблонский және т.б. сынды ғалымдардың еңбектері арқасында айтарлықтай даму алды.

Математикалық логика – оның әдістерін кеңірек қолданғанда математиканың қажеттіліктеріне қолданатындай етіп өңделген жалпы логиканың бөлімі. Оның негізінде – позициялық жүйенің екі таңбалы базисі, булдік айнымалының екі таңбалылығы және екі тұрақты жағдайымен физикалық құрылғыларын пайдалану жатыр.

Логика алгебрасы электроникада, автоматикада, және есептеу құрылғыларының теориясында қолданалылады. Сонымен қатар, ЭЕМ үшін кез келген күрделі бағдарлама шартты ауысулардан тұрады және олармен логикалық шарттар байланысқан. Сондықтан, логикалық операциялар барлық бағдарламалау тілдерінде, ақпараттық жүйелер сұраныстарының тілдерінде, электронды кестелерде, әуелі MS DOS командалық файлдарында болады.

Машинаның жұмысының анализінде және оның түйіндерінің синтезінде ЭЕМ-ді ойлап шығарғандарға маңызды көмегін тигізді. Логика алгебрасындағы негізгі ұғым – тұжырым.

Пікір – ақиқат немесе жалғандығын бекітуге болатын сөйлем.

Пікірлер жай және күрделі болады. Пікір ақиқаттықтың мәні басқа пікірлерге тәуелсіз болса, онда жай деп аталады.

Логика алгебрасы қарапайым алгебра сияқты принциптерден құралады. Оның айырмашылығы мынада: логика алгебрасы формулаларында айнымалылар логикалық болып табылады және олар тек екі мәнді ғана қабылдайды – "жалған" немесе "ақиқат". Әрбір формула екі мәнді ғана қабылдай алатын логикалық айнымалылар арқылы логикалық функцияны береді.

Логикалық (бульдік) айнымалы - х = {0,1} екі мәнін ғана қабылтай алатын х шамасы.

Егер пікір ақиқат болса, кез келген пікірді х символы арқылы белгілеуге және х=1 деп есептеуге болады, ал х = 0 болса – пікір жалған. Булдік алгебрада пікірлер әріптермен де белгіленеді. Сонымен қатар, пікірлер булдік алгебра айнымалылары болса, ақиқат болған жағдайда 1 мәнін, ал егер пікір жалған болса, онда 0 болады.

Пікір абсолютті ақиқат болады, егер оған тиісті логикалық шама кез келген шарттарда х =1 мәнін қабылдаса. Мысалы, абсолютті ақиқат пікір - "Жер – бұл Күн жүйесінің планетасы" пікірі.

Ортақ тұжырым шартты ақиқат деп аталады, егер ол тұжырымда айтылатын кез келген обьектілер үшін дұрыс болса. Мысалға, "Итте төрт аяқ бар" десек тұжырым кез келген ит үшін дұрыс.

Пікір абсолютті жалған болады, егер оған тиісті логикалық шама кез келген шарттарда х =0 мәнін қабылдаса. Мысалы, "Жер – Марстың спутнигі" абсолютті жалған.

Логикалық функция (логика алгебрасының функциясы) - х₁ , х₂ ,..., х_п логикалық айнымалылар жиынында нөлге немесе бірге тең болатын мәндерін қабылдайтын ƒ(х₁, х₂ ,..., х_n) функциясы.

Бір айнымалыдан тұратын логикалық функциялар 1 кестеде көрсетілген.

1-кесте - Логикалық функциялар кестесі

x	f1(x)	f2(x)	f3(x)	f4(x)
0 1	1 1	0 0	0 1	1 0

Енгізілген анықтамаларға сәйкес f₁(x) функциясы абсолютті ақиқат (бірлік тұрақтысы (константасы)), ал f₂(x) функциясы – абсолютті жалған (нөлдің тұрақтысы (константасы)).

f₃(x) функциясы логикалық айнымалының қайталанатын мәні - [f₃ (x)  х] тепе-тең функция, ал х мәндеріне кері мәндер алатын f ₄ (х) функциясы – логикалық терістеу, немесе НЕ функциясы: [f ₄ (х ) = х=x].

Логикалық операциялар

Логика алгебрасында келесі операциялар болады: логикалық көбейту, логикалық қосынды және логикалық терістеу.

"ЖӘНЕ" конъюнкция (логикалық көбейту) А және В;

"НЕМЕСЕ" дизъюнкция (логикалық қосынды) А немесе В;

"ЕМЕС" терістеу емес А;

ЖӘНЕ, НЕМЕСЕ, ЕМЕС логикалық операциялар математикалық логикада ақиқаттық мәндер кестесінде анықталады.

Конъюнкция (логикалық көбейту) – ақиқат болады, сонда және тек сонда, егер х₁ де , х₂ ақиқат болса. Конъюкцияны жиі ЖӘНЕ функциясы деп те атайды, шартты түрде былай белгіленеді:

f₁ (x₁, х₂) = х₁ & х₂ = х₁  х₂. & - амперсант.

Екі А және В қарапайым пікірлерді ЖӘНЕ сөзінің көмегімен бір сөзге біріктіру логикалық көбейту немесе конъюкция деп аталады, ал операция нәтижесі – логикалық көбейтінді.

Логикалық көбейтінді АВ, немесе А^ В деп жазылады, А және В деп оқылады.

А^В күрделі пікір үшін ақиқаттық кестесін құрайық. Кестеден айқын көрініп тұрғандай, А ^ В пікірі ақиқат сонда және тек қана сонда, егер А пікірі де, және В пікірі де барлық басқа А және В комбинацияларында жалған болса, яғни, А және В пікірілерінің біреуі немесе екеуі жалған, А немесе В жалған болады, егер А және В пікірінің біреуі немесе екеуі де жалған болса.

2- кесте - ЖӘНЕ ақиқатығының кестесі

А	В	А ۸ В
Жалған	Жалған	Жалған
Жалған	Ақиқат	Жалған
Ақиқат	Жалған	Жалған
Ақиқат	Ақиқат	Ақиқат

Ақиқаттық кестесі – бұл кіріс операндаларының (пікірлердің) барлық мүмкін болатын ақиқаттық мәндерінің сәйкес келуі мен бұл сәйкестіктердің әрбіреуі үшін ақиқаттық мәнімен бірге шығатын операция нәтижесі тізбектелеген логикалық операцияның кестелік көрсетілуі.

Дизъюнкция (логикалық қосынды) —f ₇(х₁, х₂), функциясы ақиқат болады, егер x₁ немесе х₂, , немесе екі айнымалы да ақиқат болса.

Дизъюнкциюны жиі НЕМЕСЕ функциясы деп те атайды және шартты түрде былай деп белгіленеді:

f ₇ (x₁, х₂) = х₁ + х₂ = х₁ v x₂.

Дизъюнкциядан f₆(x₁, x₂) функциясын айыру керек, ол 2 модулі бойынша қосу функциясы (НЕМЕСЕ функциясынан айрықша) деп аталады және ол ақиқат болады, егер х₁ немесе х₂, жеке-жеке ақиқат болса. Бұл функцияның шартты белгіленуі: f₆(х₁, х₂) = х₁  х₂.

А және В екі қарапайым пікірлердің НЕМЕСЕ сөзінің көмегімен біріктіру негізінде қолданатын бір сөзге бірігуі логикалық қосынды немесе дизъюнкция деп аталады, ал логикалық қосынды операция нәтижесі.

Логикалқ қосынды мынадай түрде жазылады: А+В, немесе А ^ В, А немесе В деп оқылады..

А ^ В үшін ақиқаттық кестесінен көрініп тұрғандай, А немесе В ақиқат, А және В пікірлерінің біреуі болсын ақиқат болса, және А немесе В жалған болады, егер А және В пікірлері де жалған болса.

3 – кесте - НЕМЕСЕ ақиқаттық кестесі

А	В	А ۷ В
Жалған	Жалған	Жалған
Жалған	Ақиқат	Жалған
Жалған	Жалған	Жалған
Жалған	Жалған	Жалған

Логикалық қосынды және логикалық көбейтінді екі орынды операция болып табылады, яғни, екі қарапайым пікірлерді біріктіреді. Онда үш немесе одан да көп пікірлердің қосындысы үшін операцияларды ретімен көрсететін жақшалар пайдаланылуы керек.

Логикалық қосу мен логикалық көбейту екі орынды операция болғандықтан, яғни, екі қарапайым пікірлерді біріктіреді, онда үш немесе одан да көп пікірлердің бірігуі үшін операциялардың ретін көрсететін жақшалар пайдаланылу керек. Логикалық өрнектің мәнінің ақиқаттығын анықтауда алдымен жақшада тұрған пікірдің ақиқаттығы анықталады, содан кейін барлық өрнектің ақиқаттық мәні анықталады.

Логиканың қарапайым операциясы бір орынды терістеу операциясы болып табылады. А пікіріне ЕМЕС сөзінің қосылуы логикалық терістеудің операциясы деп аталады, терістеудің орындалу нәтижесінде жаңа пікір пайда болады. ­┐А немесе А (А емес деп оқылады) деп белгіленеді.

Терістеу ақиқат болады, егер шығатын пікір жалған болса.

Терістеу жалған болады, егер шығатын пікір ақиқат болса.

4 – кесте - ЕМЕС ақиқаттығының кестесі

А	В
Ақиқат	Жалған
Жалған	Ақиқат

Логикалық элементтер – бұл элементаралы логикалық функцияны айқындайтын электронды логикалық схеманың бөлігі. Компьютердің логикалық элементтері: ЖӘНЕ, НЕМЕСЕ, НЕ және т.б. (вентиль деп аталатын) электронды схемалар, және де триггер болып табылады.

Осы кестелердің көмегімен компьютер құрылғысының жұмысын суреттейтін кез келген логикалық функцияны айқындауға болады. Әдетте вентилдерде екіден алтыға дейін кірулер және бір немесе екі шығулар болады. Логикалық элементтер жұмысын ақиқаттық кестесінің көмегімен суреттейды.

1. ЖӘНЕ кестесі екі немесе одан да көп логикалық мәндердің конъюкциясын айқындайды.

2. НЕМЕСЕ кестесі екі немесе одан да көп логикалық мәндердің дизъюнкциясын айқындайды. НЕМЕСЕ жүйесінің бір ғана кіруінде болсын бірлік болса, онда оның шығыуында да бірлік болады.

3. «ЕМЕС» кестесі (инвертор) терістеу операциясын айқындайды.

3. Тепе-теңдік операциясы. А ~ В деп белгіленеді, А В-ға тепе-тең.

А	В	А ۷ В
Жалған	Жалған	Ақиқат
Жалған	Ақиқат	Жалған
Ақиқат	Жалған	Жалған
Ақиқат	Ақиқат	Ақиқат

5 . Импликация операциясы. А В деп белгіленеді, егер А болса, онда В деп оқылады..

Ақиқаттық кестесі.

А	В	А ۷ В
Жалған	Жалған	Ақиқат
Жалған	Ақиқат	Ақиқат
Ақиқат	Жалған	Жалған
Ақиқат	Ақиқат	Ақиқат

Қатынас белгілерімен байланысқан екі арифметикалық немесе жолдық өрнектер қатынас деп аталады. Арифметикалық өрнектер, жолдар, логикалық тұрақтылар және айнымалылар логикалық өрнектерге кіруі мүмкін.

Логикалық өрнектерді есептеп үйрену қажет, олар жиі ақиқат немес жалған алгоритмін басқаруда ауысу шарты ретінде қолданылады.

Қарапайым логикалық тепе-теңдіктер логикалық функцияларды басқа біреулері арқылы көрсетуге мүмкіндік береді. Ең қарапайым тепе-теңдіктерді келтірейік.

Импликация операциясы НЕ және НЕМЕСЕ операциялары арқылы өрнектеледі.

А В = ┐А ٧ В. Жиі тепе-тең терістеу операциясы қолданылады: .

А	В	А ~ В	┐(А ~ В)
Жалған	Жалған	Ақиқат	Жалған
Жалған	Ақиқат	Жалған	Ақиқат
Ақиқат	Жалған	Жалған	Ақиқат
Ақиқат	Ақиқат	Ақиқат	Жалған